Question

Traza la grafica y determina la ecuacion de la parabola que tiene como directriz la recta y - 4 = 0, foco F (-5, 0)

Answer 1

Esta es una parábola vertical que abre hacia abajo (esto lo determina la directriz). Vamos a escribir la ecuación elemental de una parábola vertical.

$y-k= \frac{1}{4p} (x-h)^2$

Para armar la ecuación de la parábola necesitamos conocer el vértice y P, recuerda que P es la distancia que hay entre el vértice y el foco o la distancia que hay entre el vértice y la directriz (el vértice está ubicado exactamente en el punto medio entre la directriz y el foco).

Vamos a hallar la distancia media entre la recta $y-4=0$ y el foco F(-5,0) para obtener P.

$( \frac{1}{2}) |y-4|$
Reemplazamos la coordenada Y del foco en la ecuación.
$( \frac{1}{2}) |(0)-4|= (\frac{1}{2}) 4=2 unidades$

Ya sabemos la distancia media entre el foco y la directriz, es decir que ya sabemos la distancia que hay del vértice al foco o la distancia que hay del vértice a la directriz, pero 2 aún no es P...

Como la parábola abre hacia abajo, P es negativo, por lo tanto:

$P = -2$

Ahora nos falta hallar el vértice, sabemos que el vértice está por encima del foco, entonces me tengo que parar en el foco y moverme 2 unidades hacia arriba para hallar el vértice, por lo tanto:

Vértice = (-5,2)

Reemplacemos todos los datos en la ecuación.

$y-k = \frac{1}{4p} (x-h)^2$
$y-2 = \frac{1}{4(-2)} (x-(-5))^2$
$y-2 = \frac{1}{-8} (x+5)^2$ Ecuación de la parábola pedida.

Ahí está en la forma elemental, si la quieres llevar a su forma general simplemente debes solucionarla y dejarla igualada a 0.

La ecuación de la parábola en la forma general es la siguiente.

$x^2+10x+8y+9=0$

Te adjunto una imagen de la gráfica de la parábola.

Fue un placer, saludos.

Answer 2

La gráfica de la parábola se encuentra en la imagen.

La ecuación de la parábola es: y²= -20x.

Datos:

Directriz: y - 4 = 0

Foco F (-5, 0)

Explicación:

La parábola es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de una recta fija denominada directriz y de un punto llamado foco.

La ecuación de la parábola sigue la fórmula: y² = 4px.

y²= 4(-5)x → y²= -20x.

De este modo, la ecuación es  y²= -20x.

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