Question

En una habitación rectangular el largo es (X + 7) y el ancho es (X +2): si el área de la habitación es de 36 metros cuadrados. ¿Cuál es el ancho y el largo de la habitación? con ecuación cuadrática por favor

Answer 1

Las dimensiones de la habitación rectangular son de 4 metros de ancho y 9 metros de largo

Solución

Se desea conocer el ancho y el largo de una habitación rectangular

De la cual conocemos su área y

que su largo es (x +7) y su ancho es (x + 2)

Hallaremos los valores de los lados a partir de su área

Recordemos que

Un rectángulo es un polígono con cuatro lados siendo éstos iguales dos a dos. Siendo sus cuatro ángulos interiores rectos, es decir de 90°.

Como el rectángulo tiene los lados iguales dos a dos, su área es el producto de sus dos lados contiguos (a y b)

Pudiendo decir

$\large\boxed{\bold { Area\ Rectangulo = Largo \ . \ Ancho }}$

Donde

El largo de la habitación:

$\large\textsf{Largo = (x + 7) m }$

El ancho de la habitación

$\large\textsf{Ancho = (x + 2) m }$

Conocemos el valor del área de la habitación que es de 36 m²

$\large\textsf{\'Area = 320 }\bold {m^{2}}$

Estamos en condiciones de plantear una ecuación que satisfaga al problema

$\large\boxed{\bold { Area\ Rectangulo = Largo \ . \ Ancho }}$

$\boxed {\bold { 36 \ m^{2} = (x+7) \ m \ . \ (x+2) \ m }}$

$\textsf{Operamos sabiendo que las unidades son metros }$

$\boxed {\bold { 36= (x+7) \ . \ (x + 2) }}$

$\boxed {\bold {(x+7) \ . \ (x + 2) = 36 }}$

$\boxed {\bold { x \ . \ x \ +\ 7x \ + \ 2x \ + 14= 36 }}$

$\boxed {\bold {x^{2} \ +\ 9x \ + 14= 36 }}$

$\boxed {\bold {x^{2} \ +\ 9x \ + 14- 36 = 0 }}$

$\large\boxed {\bold {x^{2} \ +\ 9x \ - 22 = 0 }}$

$\large\textsf{Tenemos una ecuaci\'on de segundo grado }$

Resolvemos para x

Empleando la fórmula cuadrática

$\large\textsf{F\'ormula cuadr\'atica }$

$\boxed{ \bold{ \frac{ -b\pm \sqrt{ b^2 - 4ac } }{2a} }}$

$\textsf {Sustituimos los valores de a = 1, b =9 y c = -22 }$

$\large\textsf{Para resolver para x }$    

$\boxed{ \bold{x = \frac{ -9 \pm \sqrt{ 9^2 - 4\ . \ (1 \ . \ -22) } }{2 \ . \ 1} }}$

$\boxed{ \bold{x = \frac{ -9 \pm \sqrt{81- 4\ . \ -22 } }{2 } }}$

$\boxed{ \bold{x = \frac{ -9 \pm \sqrt{81+ 88 } }{2 } }}$

$\boxed{ \bold{x = \frac{ -9 \pm \sqrt{169 } }{2 } }}$

$\boxed{ \bold{x = \frac{ -9 \pm \sqrt{13^{2} } }{2 } }}$

$\boxed{ \bold{x = \frac{ -9 \pm 13 }{2 } }}$

$\large\textsf{La respuesta final es la combinaci\'on de ambas soluciones }$  

$\large\boxed{ \bold{x = 2, - 11 }}$

$\large\textsf {Se toma el valor positivo de x dado que es una medida de longitud }$

$\large\boxed{ \bold{x = 2 \ metros }}$

Luego

El largo de la habitación:

$\large\textsf{Largo = (x + 7) m }$

$\large\textsf{Largo = (2m + 7 m) = 9 metros }$

El ancho de la habitación

$\large\textsf{Ancho = (x + 2) m }$

$\large\textsf{Ancho = (2 m + 2 m) = 4 metros }$

Sabiendo que el área de la habitación rectangular es de 36 metros cuadrados

Luego el ancho de la habitación es de 4 metros y el largo de 9 metros