Question

La circunferencia: x²+y²= 25. tiene por recta tangente trazada por el punto (-3.4) a la recta​

Answer 1

Recordemos que el valor de la derivada de una función en un punto específico determina la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto.

En el problema primero despejamos "y" de la relación y luego procedemos a derivar

                                                    $\mathsf{x^2+y^2 = 25}$

                                                     $\mathsf{y^2 = 25-x^2}$

                                                      $\mathsf{y = \sqrt{25-x^2}}$

Derivamos

                                               $\mathsf{\dfrac{d}{dx}(y) =\dfrac{d}{dx}(\om \sqrt{25-x^2}) }$

                                                   $\mathsf{\dfrac{dy}{dx} =\dfrac{d}{dx}(\sqrt{25-x^2}) }$

                                                   $\mathsf{\dfrac{dy}{dx} =\dfrac{1}{2\sqrt{25-x^2}} \cdot \dfrac{d}{dx}({25-x^2}) }$

                                                  $\mathsf{\dfrac{dy}{dx} =\dfrac{1}{2\sqrt{25-x^2}} \cdot (0-2x)}$

                                                  $\mathsf{\dfrac{dy}{dx} =\dfrac{-2x}{2\sqrt{25-x^2}}}$

                                                 $\boxed{\mathsf{\dfrac{dy}{dx} =\dfrac{-x}{\sqrt{25-x^2}}}}$

Como mencionamos la derivada es la pendiente( dy/dx = m)

                                                   $\boxed{\mathsf{m=\dfrac{-x}{\sqrt{25-x^2}}}}$

Reemplazamos la abscisa del punto (-3,4) en la pendiente

                                                     ${\mathsf{m=\dfrac{-(-3)}{\sqrt{25-(-3)^2}}}}$

                                                    ${\mathsf{m=\dfrac{3}{\sqrt{25-(9)}}}}$

                                                    ${\mathsf{m=\dfrac{3}{\sqrt{16}}}}$

                                                      $\boxed{\boldsymbol{{\mathsf{m=\dfrac{3}{4}}}}}$

Sabemos que la ecuación de una recta está definido como

                                               $\mathsf{(y-y_o)=m(x-x_o)}$

Pero

                                                      $\mathsf{(\underbrace{-3}_{x_o},\underbrace{4}_{y_o})}$

Entonces

                                                 $\mathsf{(y - 4) = \left(\dfrac{3}{4}\right)[x - (-3)]}$

                                                $\mathsf{(4)(y - 4) = \left({3}\right)(x +3)}$

                                                   $\mathsf{4y - 16 = 3x + 9}$

                                                 $\boxed{\boxed{\boldsymbol{\mathsf{4x - 3x -25 =0}}}}$

                                                                ↓

                                       Ecuación de la recta tangente

                                                                                                            〆ʀᴏɢʜᴇʀ ✌