Question

Calcula las dimensiones de un rectángulo que tiene como perímetro 64 metros y por área 252 metros cuadrados

Answer 1

x = Largo
y = Ancho

Recordemos las ecuaciones del área y del perímetro de un rectángulo.

$Area = Largo * Ancho$
$Perimetro = 2*Largo + 2*Ancho$

Ahora reemplacemos los datos que tenemos en esas ecuaciones.

$x*y = 252$   (1)
$2x+2y = 64$   (2)

Tenemos un sistema de ecuaciones, vamos a resolverlo usando el método de sustitución, despejemos una variable de cualquier de las 2 ecuaciones y lo reemplazamos en la otra, yo voy a despejar X de la segunda ecuación.

$2x+2y = 64$
Sacamos factor común 2.
$2(x+y) = 64$
$x+y = \frac{64}{2}$
$x = 32 -y$  (3)

Ahora reemplacemos (3) en (1).

$(32-y)*y=252$
$32y-y^2=252$
$-y^2+32y-252=0$
Multipliquemos toda la ecuación por (-1) para dejar el $-y^2$ positivo.
$y^2-32y+252=0$
Tenemos una ecuación cuadrática, no la puedo resolver acá ya que esta plataforma tiene un limite de letras, pero puedes usar la ley general y te debe dar los siguientes resultados.

$y_1 = 18$
$y_2 = 14$

Tenemos 2 posibles candidatos para ser el ancho del rectángulo (recuerda que Y es el ancho), pero aún no sabemos cuál es, por ahora hallemos X, reemplacemos ambos Y's en la ecuación (3).

$x = 32 -y$  (3)

$x_1 = 32 -18 = 14$
$x_2 = 32-14=18$

Ahora tenemos 2 parejas de posibles candidatos para ser el largo y el ancho, son las siguientes [18,14] y [14,18] pero si te fijas, solamente tenemos 14 y 18, en la ecuación del área o del perímetro de un rectángulo NO IMPORTA en que orden pongas el largo o el ancho, te va a dar lo mismo. 

Conclusión.

Las dimensiones del rectángulo pueden ser de:
Largo = 14 metros
Ancho = 18 metros

ó

Largo = 18 metros
Ancho = 14 metros

Fue un placer, saludos.

Answer 2

DATOS:
=========
- Largo del rectángulo:  x
- Ancho del rectángulo: y

Entonces:

- Si su perímetro es  64 m.

===>  2x + 2y = 64 → 1ra ecuación

- Si su área es 252 m².

===>   x × y = 252 → 2da ecuación

- Hallar las dimenciones del rectangulo.

RESOLVIENDO;:
================
Con los datos dados, hemos planteado un sistema de ecuaciones con dos incógnita, que lo resolveremos por el método de sustitución:

$&\begin{cases}&2x +2y=64\\&x*y=252&\end{cases}$

1. Despejamos una de las incógnitas en una de las dos ecuaciones.

                                   2x + 2y = 64 → Sacamos mitad
                                       x + y = 32
                                             x = 32 - y

2. Sustituimos en la otra ecuación la variable x, por el valor anterior:
 
                                       x × y = 252
                                 (32 - y)y = 252
                                  32y - y² = 252
                       -y² + 32y - 252 = 0 → ×(-1)
                        y² - 32y + 252 = 0
         
Entonces:
Resolvemos nuestra ecuación cuadrática:
                     
                               y² - 32y + 252 = 0
                               y               -18 → (y - 18)
                               y               -14 → (y - 14)

⇒ (y - 18)(y - 14) = 0

     y - 18 = 0
            y = 18 → Solución 1

     y - 14 = 0
            y = 14 → Solución

Por lo tanto: y = {14 ; 18}

3. Sustituimos el valor obtenido en la variable despejada.

Si y = 14
                             x = 32 - y
                             x = 32 - 14
                             x = 18
4.SOLUCION:

x = 18    ;     y = 14

REMPLAZAMOS:

- Largo del rectángulo:  x = 18
- Ancho del rectángulo: y = 14

 RESPUESTA:
=============

El largo del rectángulo es de 18 m y el ancho es de 14 m.

Espero que te ayude.
Saludos!!!!