Question

Una bala se dispara desde el piso formando una trayectoria tipo parábola, donde su ecuación es: y = -x2 + 10x – 20.
En qué punto, la bala, alcanzó su altura máxima?

Determina los puntos desde donde fue lanzada la bala, así como el punto en donde cayó.


Reflexiona y describe un ejemplo de la aplicación de este tipo de funciones en la vida cotidiana

Answer 1

Para saber cuál es el punto más alto que alcanzo la bala nos conviene mucho llevar esa ecuación a la forma de la ecuación fundamental de la parábola, es la siguiente.

$y - k = \frac{1}{4p} (x-h)^2$ 
Centro: (h,k)

No te preocupes si no conoces esa ecuación, esa es la ecuación que usamos en la universidad, lo único nuevo que tiene de nuevo esa ecuación es "p", y "p" es la distancia del vértice al foco, pero no necesitaremos el foco para nada, solamente queremos conocer el vértice.

$y = -x^2+10x-20$
Simplemente voy a pasar el 20 al otro lado, y sacaré factor común -1.
$y + 20 = -1(x^2-10x)$
Ahora hagamos completación de trinomio cuadrado perfecto, recuerda que debemos agregar un número para completar el TCP, y ese número lo debemos agregar también al otro lado para no alterar la ecuación. Si no sabes como hacer esto revisa vídeos, no es nada complicado.
$y+20 = -1(x^2-10x+25)$
Ahora como agregué el 25, pero ese 25 está multiplicado por el -1, en realidad estoy restando, por lo tanto también debo restar 25 al otro lado de la ecuación.
$y +20-25 = -1(x^2-10x+25)$
Y ahora, como es trinomio cuadrado perfecto, lo puedo llevar a un binomio al cuadrado. 

$y-5=-1(x-5)^2$

Terminamos, es la misma ecuación que teníamos al principio pero de diferente forma, nos conviene más trabajar la ecuación así ya que de esta forma podemos ver el vértice.

La parábola tiene vértice en (5,5), simplemente para ver el vértice tienes que sacar los números que acompañan al X y al Y pero con signo contrario.

La altura máxima que alcanza la bala es la distancia del eje X a la bala, es decir la coordenada K, entonces la altura máxima es de 5 unidades.

Ahora para saber desde dónde fue lanzada la bala y hasta dónde llegó, podemos seguir usando esa misma ecuación, simplemente tenemos que hacer Y = 0, y despejar X.

$y-5=-1(x-5)^2$
$0-5=-1(x-5)^2$
$-5=-1(x-5)^2$
Volvamos a solucionar el binomio.
$-5 = -1(x^2-10x+25)$
Nos conviene multiplicar ambos lados de la ecuación por -1.
$-5(-1) = -1(x^2-10x+25)(-1)$
$5 = x^2-10x+25$
$x^2-10+25-5=0$
$x^2-10x+20=0$

Ahora solucionemos esa ecuación cuadrática, yo lo haré acá con fórmula general, no te puedo hacer el procedimiento porque ya me demoro mucho, solamente te daré las respuestas.

$x_1 = 5- \sqrt{5}$ Acá es donde la bala fue lanzada.

$x_2 = 5 + \sqrt{5}$ Acá es donde la bala llegó.

Fue un placer, saludos.