Question

Se desea recoger maquinaría que está guardada en una isla ubicada a 60 km del punto más próximo sobre la playa, para llevarla al centro de producción. se requiere minimizar el tiempo de transporte desde la isla, y ubicar en qué punto sobre la playa se debería ubicar el transporte para dirigirlo por carretera a la fábrica. se conoce que el barco lleva una velocidad de 50 km/h, mientras que el carro puede ir a una velocidad de 80 km/h y que la fábrica está a una distancia de 70 km desde la altura de la isla.

Answer 1

Vamos a denotar la distancia recorrida en auto como x. La distancia recorrida en barco será entonces la hipotenusa del triángulo rectángulo con catetos 60 km y (70 - x) km, por tanto, podemos hallar la longitud de esta distancia aplicando Pitágoras:

• $\text{Distancia auto} = x$
• $\text{Distancia barco} = \sqrt{60^2+(70-x)^2}$

La función Demora D(x) estará dada entonces por:

$D(x)= \dfrac{\text{Distancia Barco}}{\text{Velocidad barco}}+ \dfrac{\text{Distancia Auto}}{\text{Velocidad Auto}}$

$D(x) = \dfrac{\:\sqrt{60^2+\left(70-x\right)^2}\:}{50}+ \dfrac{x}{80}$

Esta función es mínima cuando su derivada se anula por tanto, hallamos la derivada:

$\dfrac{dD}{dx}=\dfrac{x-70}{50\sqrt{x^2-140x+8500}}+\dfrac{1}{80}$

Igualamos a cero y resolvemos:

$\dfrac{x-70}{50\sqrt{x^2-140x+8500}}+\dfrac{1}{80}=0$

$\dfrac{x-70}{50\sqrt{x^2-140x+8500}}=-\dfrac{1}{80}$

$80(x-70)=-50\sqrt{x^2-140x+8500}$

$8(x-70)=-5\sqrt{x^2-140x+8500}$

$64(x-70)^2=25(x^2-140x+8500)$

$64\left(x^2-140x+4900\right)=25(x^2-140x+8500)$

$64x^2-8960x+313600=25x^2-3500x+212500$

$39x^2-5460x+101100=0$

$x_{1,\:2}=\dfrac{-\left(-5460\right)\pm \sqrt{\left(-5460\right)^2-4\cdot \:39\cdot \:101100}}{2\cdot \:39}$

$x_{1,\:2}=\dfrac{-\left(-5460\right)\pm \:600\sqrt{39}}{2\cdot \:39}$

$x_1=\dfrac{10\left(91+10\sqrt{39}\right)}{13},\:x_2=\dfrac{10\left(91-10\sqrt{39}\right)}{13}$

$x_1=118.03844, \boxed{x_2=21.96155}$

Descartamos el primer valor por ser mayor que la distancia que hay que recorrer y nos quedamos con x = 21.96155. Ya sabemos que el mínimo tiempo ocurre para una distancia en tierra de x = 21.96155 km, por tanto, evaluamos este valor en la función Demora D(x):

$D = \dfrac{\:\sqrt{60^2+\left(70-(21.96155)\right)^2}\:}{50}+ \dfrac{21.96155}{80}$

$\boxed{D = 1.81\ h}$

El punto debe ubicarse de manera en que la distancia recorrida en auto sea 21.96155 km. Tomando el origen como se indica el punto sería (21.96155,0). La demora mínima que se puede alcanzar con esas condiciones son 1.81 horas.