Question

Una empresa fabrica dos artículos A y B a partir de dos materias primas P y Q. Cada unidad de producto requiere las cantidades que indica la siguiente taba. La empresa dispone de un stock de 41u de P y 45u de Q. u= unidades.
a. Demostrar que los vectores (2,1) y (3,5) forman una base de R2
b. Obtén el valor de (λ, β) que permiten que el vector (41,45) forme parte del espacio vectorial formado por (2,1) y (3,5) y que nos indican el número de unidades que podemos fabricar de cada producto para que no existan excedentes.

Answer 1

a) Demostrar que los vectores A = (2,1) y B = (3,5) forman una base de R2

- Debemos demostrar que ambos vectores son linealmente independientes.
 
Para que sean linealmente independientes:

k1*v1 + k2*v2 = 0

k1* (2,1) + k2 (3,5) = (0,0)

(2k1 + 3k2 , k1 + 5k2) = (0, 0)


2k1 + 3k2 = 0
  k1 + 5k2 = 0

 
k2 = -(2/3)k1


k1 + 5(-2/3)k1 = 0
k1 - (10/3)k1 = 0
3k1 - 10k1 = 0
-7k1 = 0

k1 = 0 ; k2 = 0

Los vectores son linealmente independientes


- Debemos demostrar que existe un vector v que genera a los vectores (2,1) y (3,5)


v = c1*A + c2*B

v = k1*A + k2*B


Restando ambas ecuaciones:

0 = (c1 - k1)A + (c2 - k2)B

c1 - k1 = 0 ; c2 - k2 = 0

c1 = k1 ; c2 = k2

Las dos expresiones son iguales, entonces los vectores (2,1) y (3,5) forman una base para R2



b) Obtención de (λ,β)

(41,45) = λ(2,1) + β(3,5)

41 = 2λ + 3β
45 = λ + 5β


Despejando λ de la 2da ecuación


λ = 45 - 5β


Sustituyendo en la 1era ecuación


41 = 2(45 + 5β) + 3β

41 = 90 + 10β + 3β

41 - 90 = 13β

β = -49/13


λ = 45 - 5 (-49/13)

λ = 45 + 245/13

λ = 830/13