Dada la siguiente ecuación de circunferencia:
x2+y2−6x+8y+21=0
Halle la distancia del punto Q = (6, 0) a la circunferencia.
Respuestas
La distancia del punto Q (6,0) a la circunferencia es de 3 unidades
Solución
Se tiene la ecuación de la circunferencia expresada en la forma general la cual está dada por:
La ecuación general de la circunferencia responde a la forma:
Como se debe hallar la distancia del punto Q = (6,0) a la circunferencia tenemos que hallar el centro y el radio de la circunferencia luego debemos convertir la ecuación de la circunferencia de la forma general a la forma ordinaria
La ecuación ordinaria de la circunferencia está dada por:
Donde (h, k) son las las traslaciones horizontal h y vertical k que representan el centro del círculo. Y donde la distancia entre el centro y cada punto del círculo es igual a la longitud del radio.
La variable r representa el radio del círculo, h representa la distancia X desde el origen y k representa la distancia Y desde el origen
Sea
Lo primero que hacemos es pasar 21 al lado derecho de la ecuación cambiando su signo
Ordenamos los términos de la ecuación escribiendo primero los términos que contienen la literal x y al final los términos que contienen a la literal y
Completamos los trinomios de los cuadrados perfectos
Comenzamos completando el cuadrado para
Nos fijamos en el coeficiente del término que acompaña a la x con exponente 1
El cual es 6. Luego obtenemos la mitad de ese número
Aún nos falta un coeficiente, luego elevamos 3 al cuadrado
Por tanto al completar el cuadrado para
Se obtiene
Volvemos a la ecuación de la circunferencia:
Luego reemplazamos a por
Donde dado que agregamos un 9 a la ecuación colocamos también un 9 al otro lado de la ecuación para mantener la igualdad
Resultando en:
Ahora completamos el cuadrado para
Nos fijamos en el coeficiente del término que acompaña a la y con exponente 1
El cual es 8. Luego obtenemos la mitad de ese número
Aún nos falta un coeficiente, luego elevamos 4 al cuadrado
Por tanto al completar el cuadrado para
Se obtiene
Volvemos a la ecuación de la circunferencia:
Luego reemplazamos a por
Donde dado que agregamos 16 a la ecuación colocamos también un 16 al otro lado de la ecuación para mantener la igualdad
Resultando en:
y
Factorizamos aplicando la regla del trinomio del cuadrado perfecto
En la ecuación de la circunferencia reemplazamos:
Podemos decir que la circunferencia tiene su centro en:
Y que su radio es de 2 unidades
Hallamos la distancia del punto dado a la circunferencia
Empleando la fórmula para hallar la distancia más corta entre un punto y un círculo
Donde (x, y) son las coordenadas del punto, (h, k) las traslaciones horizontal y vertical del centro del círculo y r el radio
Teniendo
Nótese que en la fórmula se busca el valor absoluto
Teniendo
La distancia del punto dado a la circunferencia es de 3 unidades
Se adjunta gráfico
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