Question

Dada la siguiente ecuación de circunferencia:

x2+y2−6x+8y+21=0

Halle la distancia del punto Q = (6, 0) a la circunferencia.

Answer 1

La distancia del punto Q (6,0) a la circunferencia es de 3 unidades

 

Solución

Se tiene la ecuación de la circunferencia expresada en la forma general la cual está dada por:

$\large\boxed{ \bold { x^{2} + y^{2}-6 x +8y+ 21 = 0 }}$

La ecuación general de la circunferencia responde a la forma:

$\large\boxed{\bold {Ax^2+Cy^2+Dx+Ey+F=0}}$

Como se debe hallar la distancia del punto Q = (6,0) a la circunferencia tenemos que hallar el centro y el radio de la circunferencia luego debemos convertir la ecuación de la circunferencia de la forma general a la forma ordinaria

La ecuación ordinaria de la circunferencia está dada por:

$\large\boxed{ \bold { (x-h)^2+(y-k)^2=r^{2} }}$

Donde (h, k) son las las traslaciones horizontal h y vertical k que representan el centro del círculo. Y donde la distancia entre el centro y cada punto del círculo es igual a la longitud del radio.

La variable  r representa el radio del círculo, h representa la distancia X desde el origen y k representa la distancia Y desde el origen

Sea

$\large\boxed{ \bold { x^{2} + y^{2}-6 x +8y+ 21 = 0 }}$

Lo primero que hacemos es pasar 21 al lado derecho de la ecuación cambiando su signo

$\boxed{ \bold { x^{2} + y^{2}-6 x +8y = -21 }}$

Ordenamos los términos de la ecuación escribiendo primero los términos que contienen la literal x y al final los términos que contienen a la literal y

$\boxed{ \bold { x^{2} -6 x + y^{2} +8y = -21 }}$

Completamos los trinomios de los cuadrados perfectos

Comenzamos completando el cuadrado para $\bold { x^{2} - 6x}$

Nos fijamos en el coeficiente del término que acompaña a la x con exponente 1

El cual es 6. Luego obtenemos la mitad de ese número

$\bold {\frac{6}{2}= 3 }$

Aún nos falta un coeficiente, luego elevamos 3 al cuadrado

$\bold { 3^{2} = 9 }$

Por tanto al completar el cuadrado para $\bold { x^{2} -6x}$

Se obtiene

$\bold { x^{2} -6x+ 9}$

Volvemos a la ecuación de la circunferencia:

$\boxed{ \bold { x^{2} -6 x + y^{2} +8y = -21 }}$

Luego reemplazamos a $\bold { x^{2} -6x}$ por $\bold { x^{2} -6x+ 9}$

Donde dado que agregamos un 9 a la ecuación colocamos también un 9 al otro lado de la ecuación para mantener la igualdad

Resultando en:

$\boxed{ \bold { x^{2} -6x+ 9 + y^{2} +8y = -21 +9 }}$

Ahora completamos el cuadrado para $\bold { y^{2} +8y}$

Nos fijamos en el coeficiente del término que acompaña a la y con exponente 1

El cual es 8. Luego obtenemos la mitad de ese número

$\bold {\frac{8}{2}= 4 }$

Aún nos falta un coeficiente, luego elevamos 4 al cuadrado

$\bold { 4^{2} = 16 }$

Por tanto al completar el cuadrado para $\bold { y^{2} +8y}$

Se obtiene

$\bold { y^{2} +8y+ 16}$

Volvemos a la ecuación de la circunferencia:

$\boxed{ \bold { x^{2} -6x+ 9 + y^{2} +8y = -21 +9 }}$

Luego reemplazamos a  $\bold { y^{2} +8y}$ por $\bold { y^{2} +8y+ 16}$

Donde dado que agregamos 16 a la ecuación colocamos también un 16 al otro lado de la ecuación para mantener la igualdad

Resultando en:

$\boxed{ \bold { x^{2} -6x+ 9 + y^{2} +8y +16= -21 +9 +16 }}$

$\bold { x^{2} -6x+ 9}$  

y

$\bold { y^{2} +8y+ 16}$

Factorizamos aplicando la regla del trinomio del cuadrado perfecto

$\bold { x^{2} -6x+ 9}$  

$\bold { a^{2} - 2ab+ b^{2} = (a- b)^{2} }$

$\bold { x^{2} - 6x+ 9 = (x-3)^{2} }$

$\bold { y^{2} +8y+ 16}$

$\bold { a^{2} + 2ab+ b^{2} = (a+ b)^{2} }$

$\bold { y^{2} + 8y+ 16= (x+4)^{2} }$

En la ecuación de la circunferencia reemplazamos:

$\boxed{ \bold { x^{2} -6x+ 9 + y^{2} +8y +16= -21 +9 +16 }}$

$\boxed{ \bold { (x-3)^2+(y+4)^2= -21+9+16 }}$

$\large\boxed{ \bold { (x-3)^2+(y+4)^2=4 }}$

Podemos decir que la circunferencia tiene su centro en:

$\large\boxed{ \bold { (h,k) = (3,-4)}}$

Y que su radio es de 2 unidades

Hallamos la distancia del punto dado a la circunferencia

Empleando la fórmula para hallar la distancia más corta entre un punto y un círculo

$\large\boxed{ \bold { D = | \sqrt{(x-h)^{2}+ (y-k)^{2} } -r| }}$

Donde (x, y) son las coordenadas del punto, (h, k) las traslaciones horizontal y vertical del centro del círculo y r el radio

Teniendo

$\bold{Q (6,0) = (x,y)}$

$\bold{C (3,-4) = (h,k )}$

$\bold{r = 2}$

Nótese que en la fórmula se busca el valor absoluto

Teniendo

$\boxed{ \bold { D = | \sqrt{(6-(-3))^{2}+ (0-(-4)^{2} } -2| }}$

$\boxed{ \bold { D = | \sqrt{(6-3)^{2}+ (0+4)^{2} } -2| }}$

$\boxed{ \bold { D = | \sqrt{3^{2}+ 4^{2} } -2| }}$

$\boxed{ \bold { D = | \sqrt{9+ 16 } -2| }}$

$\boxed{ \bold { D = | \sqrt{25 } -2| }}$

$\boxed{ \bold { D = | 5 -2| }}$

$\large\boxed{ \bold { D = | 3| }}$

La distancia del punto dado a la circunferencia es de 3 unidades

Se adjunta gráfico