Question

En condiciones ideales, una colonia de bacterias se triplica cada tres horas, supóngase que hay a (Número Natural) cantidad de bacterias:
Resuelve:
Obtén la función que modela el comportamiento de la colonia y justifica el porqué de esta elección.
¿Cuál es el tamaño de la población después de 12 horas?
¿Cuál es el tamaño de la población después de t horas?
Da un aproximado de la población después de 48 horas.

Answer 1

$a_n=a_1* r^{n-1}$
Lo que hago aquí es basarme en la fórmula para calcular el término general de una progresión geométrica que al fin y al cabo es lo que tenemos en este experimento.  

$a_n=a* 3^{ [(\frac{t}{3})-1] }$
donde "t" es el tiempo expresado en horas. 

Desarrollando esa expresión...
$a_n=a* 3^{ [(\frac{t}{3})-1] }= \frac{a* 3^{ (\frac{t}{3}) } }{3}= \frac{a* \sqrt[3]{ 3^{t} } }{3}$
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Si a este resultado genérico damos valores múltiplos de 3 a "t"  (ya que se triplica cada 3 horas)  obtendremos siempre la cantidad de bacterias en un período de tiempo determinado por esas horas.

Atendiendo a ello, para responder a la primera pregunta del tamaño después de 12 horas, sustituyo ese valor en "t" y tengo:

$\frac{a* \sqrt[3]{ 3^{12} } }{3}= \frac{a*3^4}{3}=a*3^3=27a$
... lo que me dice que el tamaño después de ese tiempo será 27 veces mayor que el tamaño original.
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La respuesta a la 2ª cuestión ya está solucionada puesto que es la propia fórmula conseguida:
$\frac{a* \sqrt[3]{ 3^{t} } }{3}$
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Para la última cuestión sería lo mismo, sustituir "t" por 48 y quedaría:
$\frac{a* \sqrt[3]{ 3^{48} } }{3}= \frac{a* 3^{16} }{3} = a*3^{15}$

Saludos.