Question

Un barco navega en el océano y recorre la costa en línea recta. Los puntos A y B están separados 120 millas en la costa, como se ilustra en la figura siguiente. Se determina que A = 42 y B 69° Calcula la distancia más corta del barco a la costa.
xfa ayudenme necesito saber cómo se resuelve paso a paso, gracias​

Answer 1

La distancia más corta del barco a la costa es hasta el punto B, con una longitud de 86 millas

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera.  En este caso se trata de un triángulo acutángulo.

Para resolver triángulos no rectángulos como el de este problema, emplearemos el teorema del seno- también llamado como ley de senos-

Representamos la situación en un triángulo acutángulo el cual está conformado por el lado AB (c) que representa los dos puntos A y B separados sobre la costa, y los lados BC (a) y AC (b) que equivalen a las dos distancias del barco a cada uno de los dos puntos de la costa

En donde se debe calcular cual es la distancia más corta del barco a la costa

Teorema del Seno:

El teorema del seno establece una relación de proporcionalidad existente entre las longitudes de los lados de un triángulo cualquiera con los senos de sus ángulos interiores opuestos.

Dado un triángulo ABC cualquiera con lados a, b y c y con ángulos interiores α, β y γ, siendo estos respectivamente opuestos a los lados,

Entonces se cumple la relación:

$\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha )} = \frac{b}{ sen(\beta ) } = \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

Para aplicar el teorema del seno se necesita conocer dos lados y un ángulo interior opuesto a alguno de estos dos lados, o bien conocer un lado y dos ángulos, donde uno de ellos debe ser el opuesto al lado del que se sabe el valor.

Solución

Denotamos a los ángulos dados por enunciado: A de 42° y B de 69° como α y β respectivamente

Hallamos el valor del del tercer ángulo C al cual denotamos como γ  

Por enunciado sabemos dos de los valores de los ángulos del triángulo acutángulo. Vamos a hallar el valor del tercer ángulo del triángulo.

Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos es decir a 180°

Planteamos

$\boxed {\bold { 180^o = 42^o+ 69^o+ \gamma}}$

$\boxed {\bold {\gamma = 180^o - 42^o- 69^o }}$

$\large\boxed {\bold {\gamma= 69^o }}$

El valor del ángulo C (γ) es de 69°

Dado que el valor del ángulo B (β) dado por enunciado tiene un valor de 69° al igual que el ángulo C (γ) que hemos hallado se tiene un triángulo isósceles.

Donde los ángulos internos que son del mismo valor se oponen a los lados de igual magnitud

Por lo tanto si el ángulo C (γ) se opone al lado dado por enunciado que mide 120 millas (c), luego el lado b medirá lo mismo dado que se opone al ángulo B (β) que mide también 69°

Luego el valor de b (lado AC) será de 120 millas

Los cálculos nos darán la razón

Establecemos una relación de proporcionalidad entre los lados y los ángulos del triángulo

$\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha )} = \frac{b}{ sen(\beta ) } = \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

Hallamos el valor del lado b (lado AC) -distancia del barco hasta el punto A sobre la costa-

$\large\boxed { \bold { \frac{b}{ sen( \beta ) }= \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

$\boxed { \bold { \frac{b}{ sen(B ) } = \frac{c}{sen(C)} }}$

$\boxed { \bold { \frac{b}{ sen(69 )^o } = \frac{ 120 \ millas }{sen(69)^o } }}$

$\boxed { \bold { b = \frac{ 120 \ millas \ . \not sen(69 )^o }{\not sen(69)^o } }}$

$\large\boxed { \bold { b = 120 \ millas }}$

La distancia del barco hasta el punto A sobre la costa es de 120 millas

Hallamos el valor del lado a (lado BC) -distancia del barco hasta el punto B sobre la costa-

$\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha ) }= \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

$\boxed { \bold { \frac{a}{ sen(A ) } = \frac{c}{sen(C)} }}$

$\boxed { \bold { \frac{a}{ sen(42 )^o } = \frac{ 120 \ millas }{sen(69)^o } }}$

$\boxed { \bold { a = \frac{ 120 \ millas \ . \ sen(42 )^o }{sen(69)^o } }}$

$\boxed { \bold { a = \frac{ 120\ millas \ . \ 0.6691306063588 }{ 0.9335804264972 } }}$

$\boxed { \bold { a = \frac{ 80.295672763062 }{ 0.9335804264972 }\ millas }}$

$\boxed { \bold { a \approx 86.0083 \ millas }}$

$\large\boxed { \bold { a \approx 86 \ millas }}$

La distancia del barco hasta el punto B sobre la costa es de 86 millas

Por lo tanto la distancia más corta del barco a la costa es hasta el punto B, con una longitud de 86 millas

Se adjunta gráfico para comprender las relaciones entre los ángulos y sus lados planteadas