Problema 4. Una elipse tiene centro en (-4,-2), y un foco está en (6,-2); además pasa por el punto Q(-4,-7).Hallar la ecuación canónica de la elipse y comprobar con Geogebra.
Respuestas
Tenemos la ecuación canónica de la elipse:
(x - h)² / a² + (y - k)² / b² = 1
h y k son las coordenadas x y y del centro.
- Si el centro es (-4,-2) quiere decir que h = -4 y k = -2
Sustituimos esos valores en la ecuación inicial:
recordando que x-h = x -(-4) = x +4 y análogamente se procede con k tenemos:
(x+4)² / a² + (y+2)² / b² = 1
- recordemos la propiedad geométrica de las elipses producto del teorema de pitágoras, como el foco está 10 unidades a la izquierda del centro entonces c² = 100.
Por lo tanto a² - b² = 10²
- Posteriormente, utilizamos el punto que nos dieron en la ecuación de la elipse con el centro ya definido.
(-4+4)² / a² + (-7+2)² / b² = 1
entonces,
(-5)² / b² = 1
por lo tanto: b² = 25
luego sustituimos
a² = c² + b² = 125
sustituyendo estos valores en la ecuación original (a², b² ,y el centro) podemos escribir la ecuación :
(x+4)² / 125 + (y+2)² / 25 = 1
