Question

Resuelve el problema utilizando los conceptos matemáticos de optimización. A partir de una hoja de máquina tamaño carta - A4 cuyas medidas son aproximadamente 21cm de ancho y 30cm de largo, se desea construir una caja rectangular sin tapa recortando un cuadrado de cada esquina de "x" cm. Obtener las dimensiones de la caja: ancho, largo y alto, para que la caja encierre un volumen máximo. Responde a las siguientes preguntas: Cuánto va a medir el ancho de la caja al recortarle los cuadrados en cada esquina:___________ Cuánto va a medir el largo de la caja al recortarle los cuadrados en cada esquina:___________ Con los resultados anteriores, plantear la ecuación matemática para el volumen de la caja en función de "x" V(x) = _____________________ Obtener los puntos críticos de la función volumen Utilizar el criterio de la primera derivada para obtener el valor de "x" con el cual el volumen es máximo Dar la respuesta al problema: Dimensiones de la caja con volumen máximo: Ancho: ___________ Largo: ____________ Alto: _____________

Answer 1

Largo = 30 - 2X

Ancho = 21 - 2X

Volumen de la Caja = X(30 - 2X)(21 - 2X)

Vc = X[630 - 60X - 42X + 4X²]

Vc = 630X - 102X² + 4X³

V(x) = 4X³ - 102X² + 630X

Derivo V(x)

V´(x) = 12X² -  204X + 630

Hago Igualo V´(x) = 0

0 = 12X² - 204X + 630: 

Hallo las raices:  Donde a = 12; b = -204; c = 630

$X=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$X=\frac{-(-204)\pm \sqrt{(-204)^2-4(12)(630}}{2(12)}$

$X=\frac{204\pm \sqrt{41616-30240}}{24}$

$X=\frac{204\pm \sqrt{41616-30240}}{24}$

$X=\frac{204\pm \sqrt{11376}}{24}$

$X=\frac{204\pm \ 106.6583}{24}$

X1 =[204 + 106.6583]/24 = 12.944

X2 = [204 - 106.6583]/24 = 4.056


Probamos los dos resultados en:

21 - 2X:  21 - 2(12.944) = -4.888 no nos puede dar negativo

21 - 2X: 21 - 2(4.056) = 12.888 Sirve

El valor de X es de 4.056 cm 


Ancho:  30 - 2X = 30 - 2(4.056) = 21.888 cm

Largo: 21 - 2X = 21 - 2(4.056) = 12.888 cm

Alto: 4.056 cm