Question

.1. Resuelve el problema utilizando los conceptos matemáticos de optimización.a. A partir de una hoja de máquina tamaño carta - A4 cuyas medidas son aproximadamente 21cm de ancho y 30cm de largo, se desea construir una caja rectangular sin tapa recortando un cuadrado de cada esquina de "x" cm.

Answer 1

Largo = 30 - 2X

Ancho = 21 - 2X

Volumen de la Caja = X(30 - 2X)(21 - 2X)

Vc = X[630 - 60X - 42X + 4X²]

Vc = 630X - 102X² + 4X³

V(x) = 4X³ - 102X² + 630X

Derivo V(x)

V´(x) = 12X² -  204X + 630

Hago Igualo V´(x) = 0

0 = 12X² - 204X + 630: 

Hallo las raices:  Donde a = 12; b = -204; c = 630

$X=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$X=\frac{-(-204)\pm \sqrt{(-204)^2-4(12)(630}}{2(12)}$

$X=\frac{204\pm \sqrt{41616-30240}}{24}$

$X=\frac{204\pm \sqrt{41616-30240}}{24}$

$X=\frac{204\pm \sqrt{11376}}{24}$

$X=\frac{204\pm \ 106.6583}{24}$

X1 =[204 + 106.6583]/24 = 12.944

X2 = [204 - 106.6583]/24 = 4.056


Probamos los dos resultados en:

21 - 2X:  21 - 2(12.944) = -4.888 no nos puede dar negativo

21 - 2X: 21 - 2(4.056) = 12.888 Sirve

El valor de X es de 4.056 cm