Question

1. Una familia planea procrear tres hijos. asumiendo que existe la misma probabilidad de tener niña o niño, determina:
a) La distribución de probabilidad.
b) la media, la varianza y la desviación estándar.

Answer 1

La media aritmética es de 1.5, la varianza es de 0.75 y la desviación estándar es de 0.86, aproximadamente.

Explicación:

La familia planea tener  3  hijos y se asume que en cada oportunidad tienen 1/2 de probabilidad de tener varón y 1/2 de probabilidad de tener hembra.

Definimos la variable aleatoria

x  =  números de hembras que tiene la familia

x    puede tomar los valores 0, 1, 2, 3  y la probabilidad de cada uno será el producto de las probabilidades de los resultados en cada caso, es decir, 1/2 elevado a la tres, o sea, 1/8.

Hay  8  resultados posibles de los tres partos: un resultado con 3 hembras, 3 resultados con 2 hembras y 1 varón, 3 resultados con 1 hembra y 2 varones y 1 resultado con 3 varones (0 hembras).

a) La distribución de probabilidad de  x  será:

$\bold{\huge{\begin {array}{c|c|c|c|c}\underline{x}&\underline{0}&\underline{1}&\underline{2}&\underline{3}\\P(x)&\frac{1}{8}&\frac{3}{8}&\frac{3}{8}&\frac{1}{8}\end {array}}}$

b)  Media, varianza y Desviación Estándar se calculan por las fórmulas:

Media aritmética

$\bold{\overline{x}~=~\Sigma x\cdot P(x)~=~(0)(1/8)~+~(1)(3/8)~+~(2)(3/8)~+~(3)(1/8)~=~1.5}$

Matemáticamente, el resultado de la media es 1.5 hembras; pero eso no es posible. Lo lógico sería pensar en 1 o 2 hembras. Esos son los valores de la moda de la distribución, la cual es posiblemente la mejor medida de tendencia central en este caso.

Varianza

$\bold{\sigma^2~=~\Sigma x^2\cdot P(x)~-~(\overline{x})^2}$

$\bold{\sigma^2~=~[(0)^2(1/8)+(1)^2(3/8)+(2)^2(3/8)+(3)^2(1/8)]~-~(3/2)^2~=~0.75}$

Desviación Estándar

$\bold{\sigma~=~\sqrt{\sigma^2}~=~\sqrt{3/4}~\approx~0.86}$

La media aritmética es de 1.5, la varianza es de 0.75 y la desviación estándar es de 0.86, aproximadamente.