Question

La razón a la que el volumen de una esfera está aumentando, en cm3/s, está dada
por
dV/dt= 2π(4t2 + 4t + 1), para 0 ≤ t ≤ 12. El volumen inicial era de π cm3
.

Halle el volumen de la cuando t = 3

Answer 1

El volumen de la esfera cuando t = 3 es igual a 115π cm³

El enunciado nos da la derivada del volumen de las esfera

dV/dy = 2π(4t² + 4t + 1 )

Luego integramos en el intervalo pero no una integral definida, porque si integramos de forma definida en el intervalo 0 ≤ t ≤ 12 obtenemos lo que aumenta la esfera:

$\int (2\pi *(4t^{2} + 4t + 1 )\, dx = 2\pi *(4\frac{t^{3}}{3} + 2t^{2} + t) + C$

Luego si t = 0 entonces el volumen es π cm³

C = π cm³

El volumen es:

$2\pi *(4\frac{t^{3}}{3} + 2t^{2} + t) + \pi$

Ahora si t = 3, el volumen es:

2π*(36 + 18 + 3) + π = 2π*(57) + π = 114π + π = 115π cm³