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12 INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES Página 302 PARA EMPEZAR, REFLEXIONA Y RESUELVE Tomar un autobús en marcha En la gráfica siguiente, la línea roja representa el movimiento de un autobús que arranca de la parada y va, poco a poco, ganando velocidad. x y y corresponden a pasajeros que llegan tarde y corren para coger el auto- bús en marcha. 50 m 2 1 5s 10 s 15 s 20 s a) Al viajero y lo acercan en bicicleta. Describe su movimiento y halla la veloci- dad a la que corre. b) ¿Cuál es la velocidad aproximada del autobús en el momento que lo alcanza el pasajero y? ¿Entra este pasajero suavemente en el autobús? a) El pasajero 2 llega a la parada 10 s después de que saliera el autobús, y lo alcanza 6 s después, 50 m más allá. 50 Corrió, por tanto, a = 8,33 m/s. Es decir: 8,33 · 3,6 = 30 km/h 6 b) En el instante 15 s está a 43 m de la parada. En el instante 17 s está a 59 m de la parada. 16 m Velocidad media = = 8 m/s = 28,8 km 2s Las velocidades del pasajero 2 y del autobús son, aproximadamente, iguales en el mo- mento en el que el pasajero accede al autobús; por tanto, accederá suavemente. Página 303 ¿Es preferible esperar o correr tras el autobús? Los viajeros z y {, en el momento de la salida del autobús, estaban a 100 m de la parada. El z decide esperarlo y entrar en él cuando pase por allí. El { tiene un extraño comportamiento. ¿Extraño? Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones 1
2. 100 m 3 4 50 m 5s 10 s 15 s 20 sa) Describe el movimiento del pasajero {.b) Explica por qué el comportamiento del pasajero { es mucho más sensato que el del z, quien tendrá muy difícil la entrada en el autobús.a) Intenta alcanzar aproximadamente la velocidad que lleva el autobús para acceder a él suavemente.b) El pasajero 4 accede suavemente al autobús (con la misma velocidad, aproximada- mente); sin embargo, el 3 no.Carrera de relevosLa siguiente gráfica refleja el comportamiento de dos atletas, del mismo equipo,durante una carrera de relevos: 2- relevista º er 1- relevistaa) ¿Por qué en las carreras de relevos 4 × 100 m cada relevista echa a correr antes de que llegue su compañero?b) ¿Qué pasaría si esperara quieto la llegada del otro?c) ¿Es razonable que las gráficas de sus movimientos sean tangentes? ¿Cómo son sus velocidades en el momento de la entrega del “testigo”?a) Para que el “testigo” pase sin brusquedades del que llega al que se va.b) El intercambio sería muy brusco y se perdería tiempo.c) Sí, así llevarán los dos la misma velocidad, aproximadamente.Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones 2
3. Página 3041. Dibuja una función y señala dos puntos en ella (a , f (a)) y (b, f (b)) tales que a < b y f (b) < f (a). Observa en ella que la T.V.M. es negativa. Vemos que la T.V.M. es negativa, f (a) f (b) – f (a) puesto que T.V.M. = , b–a siendo en este caso f (b) – f (a) < 0 y b – a > 0. f (b) a b2. Dibuja una función en la que puedas señalar dos puntos (c, f (c)) y (d, f (d)) ta- les que c < d y f (c) < f (d). ¿Cómo es T.V.M. [c, d]? f (d) – f (c) T.V.M. [c, d] = → f (d) d–c → positiva, ya que f (d) – f (c) > 0 y d – c > 0. f (c) c dPágina 3053. Halla la T.V.M. de la función y = x 2 – 8x + 12 en los intervalos [1, 2], [1, 3], [1, 4], [1, 5], [1, 6], [1, 7], [1, 8]. f (2) – f (1) 0–5 T.V.M. [1, 2] = = = –5 2–1 1 f (3) – f (1) –3 – 5 T.V.M. [1, 3] = = = –4 3–1 3 f (4) – f (1) –4 – 5 T.V.M. [1, 4] = = = –3 4–1 3 f (5) – f (1) –3 – 5 T.V.M. [1, 5] = = = –2 5–1 4 f (6) – f (1) 0–5 T.V.M. [1, 6] = = = –1 6–1 5 f (7) – f (1) 5–5 T.V.M. [1, 7] = = =0 7–1 6 f (8) – f (1) 12 – 5 T.V.M. [1, 8] = = =1 8–1