Question

Un ingeniero pide a sus estudiantes determinar el centroide de una lámina plana de densidad uniforme ρ. Esta lámina está limitada por las gráficas de las funciones f(x)=-x^2+4 y g(x)=x^2-5 . ¿Cuál será el centroide de esta lámina plana?

Answer 1

Al determinar el centroide de la lámina plana de densidad uniforme se obtiene:

Centriode = (0, -1/2)

Explicación paso a paso:

Datos;

Determinar el centroide de una lámina plana de densidad uniforme ρ.

f(x) = -x²+4

g(x) = x²-5

¿Cuál será el centroide de esta lámina plana?

Centriode:

X = My/A

Y = Mx/A

Siendo;

$A=\int\limits^b_a {f(x)-g(x)} \, dx$

$My= \int\limits^b_a {x[f(x)-g(x)]} \, dx$

$Mx=\frac{1}{2} \int\limits^b_a {[(f(x))^{2}-(g(x))^{2} ]} \, dx$

Igualar las funciones para determinar la intersección;

f(x) =g(x)

-x²+4 = x²-5

2x²= 4 + 5

x² = 9/2

x = √(9/2) ⇒ x = ±2.12

[a, b] = (-2.12; 2.12)

Calcular A;

Sustituir;

$A=\int\limits^b_a {[(-x^{2} +4)-(x^{2} -5)]} \, dx\\A=\int\limits^b_a {-x^{2} +4-x^{2} +5} \, dx\\A=\int\limits^b_a {-2x^{2} +9} \, dx\\A =( -\frac{2}{3}x^{3} +9x)^b_a$

A = 25.5 u²

Calcular Mx;

$Mx=\frac{1}{2} \int\limits^b_a {[(-x^{2} +4)^{2}-(x^{2} -5)^{2} ]} \, \\Mx=\frac{1}{2} \int\limits^b_a {[x^{4} -8x^{2}+16-x^{4} +10x^{2} -25 ]} \, dx\\Mx=\frac{1}{2} \int\limits^b_a {[2x^{2}-9 ]} \, dx\\Mx=\frac{1}{2} [\frac{2}{3} x^{3}-9x ]^b_a$

Mx = -12.73

Calcular My;

$My= \int\limits^b_a {x[-x^{2} +4-x^{2} +5]} \, dx\\My= \int\limits^b_a {x[-2x^{2} +9]} \, dx\\My= \int\limits^b_a {[-2x^{3} +9x]} \, dx\\My= [-\frac{1}{2} x^{4} +\frac{9}{2} x^{2}]^b_a$

My = 0

Sustituir;

X = 0/25.5  ⇒ X = 0

Y = -12.73/25.5 ⇒ Y = -0.5

Centriode = (0, -1/2)