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solucionario del examen de álgebra
1. S O L U C I Ó N 1 BIMONTHLY EXAM OF ALGEBRA Problema 1 Factorizar: 6x2 − 7xy + 2y2 + 12x − 7y + 6 La suma de los coeficientes de unos de sus factores primos es: Solución Aplicando aspa doble 6x2 −7xy +2y2 +12x −7y +6 3x +2y 3 2x −1y 2 Agrupando términos tenemos (3x − 2y + 3).(2x − y + 2) ΣCoe f icientes = 2 − 1 + 2 = 3 Problema 2 Si el polinomio: T(x) = x2 + (2m − 1)x + (m + 1)(m − 2) Es factorizable mediante un aspa simple (en los enteros), además: m Z m 13, indique un factor primo:
2. 1 BIMONTHLY EXAM OF ALGEBRA Solución x2 +(2m − 1)x +(m + 1)(m − 2) x (m + 1) x (m − 2) (x + m + 1).(x + m − 2) x + m + 1 Problema 3 Un teatro tiene hasta el momento 143 butacas habilitadas y cada 20 de marzo de cada año, se adquiere un número de butacas igual al número de factores primos de: p(x,y) = 12x2 + 2xy2 − 2y4 + 9x − 3y2 . ¿ Cuántas butacas en total tendrá el teatro en su aniversario que será el 19 de marzo del 2025? Solución Aplicando aspa doble 12x2 +2xy2 −2y4 +9x −3y2 +0 4x +2y2 3 3x −1y2 0 Agrupando términos tenemos: (4x + 2y2 + 3).(3x − y2) #FP = 2 #Butacas = 143 + 6(2) = 155 Problema 4 Tomas es un matemático brillante de la Facultad de Ciencias Matemáticas de la UNMSM y él se percata que h(x) es un factor primo de: p(x) = 6x5 − 20x4 + 63x3 − 118x2 + 165x − 44. en [x], el cual genera números primos para los primeros 11 enteros no negativos. Halle la suma del mayor número primo con el menor número primo generado por h(x). 2
3. PROFESOR MARCO ALPACA ESPECIALIDAD DE MATEMÁTICA Solución Utilizando el teorema de las raíces racionales. Por lo tanto a (±1, ±2, ±4, ±11, ±22, ±44) y b (±1, ±2, ±3, ±6) Al formar todos los posibles números racionales a/b con estas elecciones de a y b, y probando todos estos posibles valores por la división sintética, se halla que x=1/3 es una raíz. 3x − 1 = 0 6 -20 63 -118 165 -44 x = 1/3 2 -6 19 -33 44 ÷3 6 -18 57 -99 132 0 2 -6 19 -33 44 Ahora aplicando aspa doble especial tenemos: (3x − 1) 2x4 −6x3 +19x2 −33x +44 2x2 0x 11 = 11x2 1x2 −3x 4 = 8x2 0x2 19x2 Agrupando términos tenemos: p(x) = (3x − 1).(2x2 + 11).(x2 − 3x + 4) h(x) = 2x2 + 11 h(0) = 11 h(10) = 211 Σ = 11 + 211 = 222 Problema 5 Al factorizar el polinomio p(x) = (x − 1)4 + 5(x − 1)2 + 9 en Z [x],determine el resto de dividir la suma de los factores primos de p(x) por x+2. Solución Ahora aplicando aspa doble especial tenemos: 3
4. 1 BIMONTHLY EXAM OF ALGEBRA (x − 1)4 +0(x − 1)3 +5(x − 1)2 +0(x − 1) +9 1(x − 1)2 1(x − 1) 3 = 3(x − 1)2 1(x − 1)2 −1(x − 1) 3 = 3(x − 1)2 −(x − 1)2 6(x − 1)x2 Agrupando términos tenemos: [(x − 1)2 + (x − 1) + 3].[(x − 1)2 − (x − 1) + 3] Σ Factores primos= 2(x − 1)2 + 6 Piden resolver 2(x − 1)2 + 6 x + 2 Utilizando el teorema del resto tenemos: R = 2(−2 − 1)2 + 6 = 24 Problema 6 Factorice los polinomios: P (x, y) = 6x2 + 19xy + 15y2 − 11x − 17y + 4 F (x, y) = x2 + 2xy + y2 + 3x + 3y − 4 y señale como respuesta el factor primo no común de mayor suma de coefi- cientes. Solución Aplicando aspa doble tenemos: 6x2 +19xy +15y2 −11x −17y +4 3x +5y −4 2x 3y −1 Agrupando tenemos: (3x + 5y − 4).(2x + 3y − 1) De igual forma tenemos: x2 +2xy +y2 +3x +3y −4 x y +4 x y −1 Agrupando tenemos: (x + y + 4).(x + y − 1) (x + y + 4) 4
5. PROFESOR MARCO ALPACA ESPECIALIDAD DE MATEMÁTICA Problema 7 Indique el factor primo de mayor suma de coeficientes del polinomio: p(x) = x4 − 2x3 − 13x2 + 14x − 24 Solución Aplicando aspa doble especial tenemos: x4 −2x3 −13x2 +14x +24 1(x)2 1x −6 = −6x2 1(x)2 −3x −4 = −4x2 −3x2 −10x2 Agrupando términos y aplicando un aspa simple tenemos: (x2 + x − 6).(x2 − 3x − 4) (x2 +x −6) (x2 −3x −4) x 3 x −4 x −2 x +1 Agrupando términos tenemos: (x + 3)(x − 2)(x − 4)(x + 1) ΣCoe f(x+3) = 1 + 3 = 4 Problema 8 En el polinomio: P(a, b) = a3 b + a2 b − a3 − a2 , calcule la suma entre el número de factores algebraicos y el número de factores primos. Solución Agrupando términos tenemos: P(a, b) = a3b + a2b − a3 − a2 P(a, b) = ba2(a + 1) − a2(a + 1) P(a, b) = (a + 1(ba2 − a2) P(a, b) = a2(a + 1)(b − 1) 5
6. 1 BIMONTHLY EXAM OF ALGEBRA #FA = 3(2)(2) − 1 = 11 #FP = 3 Σ = 11 + 3 = 24 Problema 9 ¿ Cuál de los polinomios no es factor primo de P(x), donde P(x) = 2x4 + x3 − 9x2 − 4x + 4? Solución Aplicando aspa doble especial tenemos: 2x4 +x3 −9x2 −4x +4 2x2 1x −1 = −x2 1x2 0x −4 = −8x2 0x2 −9x2 Agrupando términos tenemos y aplicando un aspa simple tenemos: (2x2 +x −1) (x2 −4) 2x −1 x 2 1x 1 x −2 Agrupando términos tenemos: (2x − 1)(x + 1)(x + 2)(x − 2) No es un factor primo: 2x + 1 Problema 10 Tomas es un matemático brillante de la Facultad de Ciencias Matemáticas de la UNMSM y él se percata que h(x) es un factor primo de: p(x) = 6x5 − 20x4 + 63x3 − 118x2 + 165x − 44. en [x], el cual genera números primos para los primeros 11 enteros no negativos. Halle la suma del mayor número primo con el menor número primo generado por h(x). 6
Explicación paso a paso:
12X+10Y