Question

Desde lo alto de un edificio un niño observa en el suelo una pelota con un ángulo de depresión de 53°. Si la altura del edificio es de 24 metros ¿A qué distancia del edificio se encuentra la pelota?

Answer 1

La distancia desde la base del edificio hasta donde se encuentra la pelota en el suelo es de 18 metros

Se trata de un problema de razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

Donde el triángulo dado de 37-53 resulta ser lo que se denomina un triángulo notable

La altura del edificio junto con el suelo donde este se asienta forma un ángulo recto, por lo tanto tenemos un triángulo rectángulo. Luego representamos la situación en un triángulo rectángulo ABC: el cual está conformado por el lado BC (a) que equivale a la altura del edificio -donde se encuentra el niño avistando una pelota en el suelo-, el lado AC (b) que representa la distancia horizontal desde la base del edificio hasta la pelota en el suelo -ubicada en A- y el lado AB (c) que es la longitud visual desde los ojos del observador -ubicado en lo alto del edificio- hasta dicha pelota en el suelo, la cual es vista con un ángulo de depresión de 53°

Donde se pide hallar:

La distancia entre la pelota y la base del edificio

Por ser ángulo alterno interno- que es homólogo- se traslada el ángulo de depresión de 53° al punto A para facilitar la situación

Por ello se ha trazado una proyección horizontal

Esto se puede observar en al gráfico adjunto

Conocemos la altura del edificio donde se encuentra el niño observador y de un ángulo de depresión de 53°

• Altura del edificio = 24 metros

• Ángulo de depresión = 53°

• Debemos hallar a qué distancia de la base del edificio se encuentra la pelota

Si la tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente:

Como sabemos el valor del cateto opuesto al ángulo dado -que es la altura del edificio- donde se ubica el observador-, y conocemos un ángulo de depresión de 53° y debemos hallar a qué distancia de la base del edificio se encuentra la pelota- la cual es el cateto adyacente al ángulo dado del triángulo rectángulo determinaremos dicha longitud mediante la razón trigonométrica tangente del ángulo α

Razones trigonométricas con ángulos notables

Hallamos la distancia desde la base del edificio hasta donde se encuentra la pelota en el suelo

Relacionamos los datos con la tangente del ángulo α $\bold{\alpha =53^o}$

Planteamos

$\boxed{\bold { tan(53^o )= \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }$

$\boxed{\bold { tan(53^o) = \frac{ altura \ del \ edificio }{ distancia \ a \ la \ pelota } } }$

$\boxed{\bold { distancia \ a \ la \ pelota = \frac{ altura \ del \ edificio }{ tan(53^o) } } }$

Como tenemos un ángulo notable

$\large \textsf{El valor exacto de tan de 53 grados es } \bold {\frac{ 4 } {3 } }$

$\boxed{\bold { distancia \ a \ la \ pelota = \frac{ 24\ m \ }{ \frac{4}{3} } } }$

$\boxed{\bold {distancia \ a \ la \ pelota = 24\ m \ \ . \ \frac{3}{4} } }$

$\boxed{\bold { distancia \ a \ la \ pelota = \frac{72 }{4} \ m } }$

$\large\boxed{\bold { distancia \ a \ la \ pelota =18 \ metros } }$

Luego la distancia desde la base del edificio hasta donde se encuentra la pelota en el suelo es de 18 metros

Se agrega gráfico para mejor comprensión del problema propuesto