Question

calcula el área de octogona regular inscrito en una circunferencia de 4cm de radio

Answer 1

primero halla el angulo central .. luego formaras triangulos isosceles dentro del octogono regular  halla el apotema y el lado multiplicalos  dividelos entres dos y esa sera el area de un triangulo pero tu quieres 8 entonces multiplicas todo por 8 ... :D 

Answer 2

Antes de empezar quiero decirte que si en verdad estás en primaría no vas a entender mucho de lo que voy a hacer acá, ya que aún no haz visto grados ni trigonometría, la verdad no entiendo por qué tu profesor le puso a sus alumnos un ejercicio que necesita de más conocimientos, voy a intentar ser lo más detallado posible.

Recuerda que un polígono regular está conformado por triángulos según la cantidad de lados que tenga el polígono, es decir que un octógono al tener 8 lados, tiene 8 triángulos en él, necesitamos hallar el área de uno de esos triángulos y multiplicarlo por 8, ya que hay 8 triángulos, empecemos.

Te adjunto una ilustración de lo que quiero decir, por favor revisa la imagen. Las lineas "n" o "p" miden lo mismo, las 2 miden 4 cm ya que esas 2 lineas tocan la circunferencia, es decir son el radio.

Ahora para hallar el área de ese triángulo debemos tener su altura. Revisa la otra imagen que te adjunté, necesitamos hallar "x" y "h", recuerda que "x" es la mitad de la base del triángulo que queremos hallar, ahora te preguntarás como hallé esos ángulos, el ángulo del triángulo que está completo sale de que como todo el polígono tiene 360°, entonces 360° dividido entre 8 triángulos, quiere decir que cada triángulo tiene 45°, por lo tanto si yo parto ese triángulo a la mitad, el triángulo verde va a obtener un ángulo de 22.5°.

Usemos trigonometría para hallar esos longitudes.

Voy a hallar primero X. necesito una función trigonométrica que me relacione el cateto opuesto con la hipotenusa. Esa función es Seno.

$Sen ( 22.5) = \frac{x}{4}$
Despejemos X.
$4 * Sen(22.5) = x$
$x = 1.53$

Ahora voy a hallar la altura, necesito una función que me relacione el cateto adyacente con la hipotenusa, esa función es coseno.

$Cos(22.5) = \frac{h}{4}$
$4 * Cos(22.5) = h$

La altura es: 4*Cos(22.5)
La base es: 2(4*Sen(22.5))
(Recuerda que corté la base en 2 partes, por eso la vuelvo a multiplicar por 2).

Área Triángulo = $\frac{Base * Altura}{2}$
Área Triángulo = $\frac{(8*Sen22.5)* (4*Cos22.5)}{2} = 5.65 cm^2$

Ahora recuerda que te dije que el octágono está conformado por 8 triángulos, entonces debo multiplicar el área de uno de los triángulos por 8 y terminamos.

Área Octágono = $5.65cm^2 * 8 = 45.25cm^2$

Te repito, esta manera en la que resolví el problema es la manera más exacta y fácil de hallar el área del polígono, lamento no si no has entendido mucho de lo que hice, pero no hay otra forma más fácil de resolverlo.

Fue un placer, saludos.