Question

Alguien que me ayude con esto por favor, es urgente. Construir la representación gráfica de la ecuación polar r^2 cscθ.secθ=18, hallando sus intersecciones, indicando sus simetrías, tangentes y cuadrado de tabulación.

Answer 1

La curva es el dibujo rojo en la imagen adjunta, recibe el nombre de lemniscata. Tiene simetría central respecto del origen y simetría axial respecto de la recta $\theta=(3+2n)\frac{\pi}{4}$ (en azul).

Explicación paso a paso:

La función se puede reescribir de esta forma poniendo a la variable radio como variable dependiente:

$r^2\frac{1}{sen(\theta)}\frac{1}{cos(\theta)}=18\\\\r=\sqrt{18.sen(\theta).cos(\theta)}$

Donde tenemos que el radio será cero cuando sea:

$\theta=0, \theta=\pi$ porque $sen(0\°)=sen(\pi)=0$

$\theta=\frac{\pi}{2}; \theta=\frac{3\pi}{2}$ porque $cos(\frac{\pi}{2})=cos(3\frac{\pi}{2})=0$

Podemos hallar los valores máximos de r derivando la expresión e igualándola a cero:

$\frac{dr}{d\theta}=\frac{1}{2\sqrt{18.cos(\theta).sen(\theta)}}.18.(-sen(\theta).sen(\theta)+cos(\theta).cos(\theta))\\\\cos^2(\theta)-sen^2(\theta)=0\\\\cos^2(\theta)=sen^2(\theta)\\\\\theta=\frac{\pi}{4}\\\theta=\frac{3\pi}{4}\\\theta=\frac{5\pi}{4}\\\theta=\frac{7\pi}{4}$

Siendo ese valor máximo:

$r=\sqrt{18.cos(\frac{\pi}{4}).sen(\frac{\pi}{4})}=\sqrt{18.\frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}}=3$

Y como tiene que ser $18.cos(\theta).sen(\theta) \geq 0$, la función solo existe en el primer y tercer cuadrante. Como evaluamos la derivada de r en función del ángulo, la función en esos puntos es tangente a la circunferencia r=3.

Vamos a hallar el ángulo en función de 'r' para determinar las rectas tangentes en $\theta=0; \theta=\frac{\pi}{2}; \theta=\pi; \theta=\frac{3\pi}{2}$:

$r^2=18cos(\theta).sen(\theta)=9.sen(2\theta)\\\\sen(2\theta)=\frac{r^2}{9}\\\\\theta=\frac{1}{2}sen^{-1}(\frac{r^2}{9})$

Con los valores de ángulo citados, es r=0, con lo cual la curva es tangente a las líneas radiales correspondientes a esos ángulos. Y la curva queda como en la imagen adjunta, siendo el gráfico rojo, las líneas verdes representan las rectas tangentes analizadas.