Question

Problema 3. Demostrar que: x^2+5y^2+5+25=100 es la ecuación de una elipse y determine:


a. Centro
b. Focos
c. Vértices

Answer 1

Asumo que es X² + 5Y² + 5X + 25Y = 100

Completo cuadrados para X

X² + 5X + 6.25 - 6.25 = (X² + 5X + 6.25) - 6.25

(X² + 5X + 6.25) - 6.25 = (X + 2.5)² - 6.25

Completo cuadrados  para Y

5Y² + 25Y = 5(Y² + 5Y)

5[Y² + 5Y + 6.25 - 6.25] = 5[(Y² + 5Y + 6.25) - 6.25]

5(Y + 2.5)² - 31.25

Reescribo:

(X + 2.5)² - 6.25 + 5(Y + 2.5)² - 31.25 = 100

(X + 2.5)² + 5(Y + 2.5)² - 37.5 = 100

(X + 2.5)² + 5(Y + 2.5)² = 100 + 37.5

(X + 2.5)² + 5(Y + 2.5)² = 137.5:  Divido toda la expresion entre 137.5

[(X + 2.5)²]/137.5  + [5(Y + 2.5)²]/137.5 = 137.5/137.5

[(X + 2.5)²]/137.5 + [(Y + 2.5)²]/27.5 = 1

Ya la tengo de la forma:

$\frac{\left(X-h\right)^2}{a^2}+\frac{\left(Y-k\right)^2}{b^2}$

Donde (h,k) Es el centro

-h = 2.5:  h = -2.5;  -k = 2.5:  k = -2.5

Centro (-2.5 , -2.5)

a² = 137.5: a = 11.726

b² = 27.5 : b = 5.244

Vetices (-2.5 +/- 11.726 , -2.5)

V1 =  (-2.5 + 11.726 , - 2.5) = (9.226 , -2.5)

V2 = (-2.5 - 11.726, -2.5) = (-14.226 , -2.5)

Para hallar el foco primero debo hallar c

C² = a² - b²

c² = 137.5 - 27.5 = 110

c² = 110:  c = 10.488

Focos: (-2,5 +/- 10.488 , -2.5)

Foco 1: (-2.5 + 10.488 , -2.5) = (7.988 , -2.5)

Foco 2 (-12.988 , - 2.5).

Elipse Centro: (-2.5 , -2.5)
Vertices: (9.226 , -2.5); (-14.226 , -2.5)
Focos: (7.988 , -2.5); (-12.988 , - 2.5)

Te anexo grafica