Question

Aplique el método de Newton para determinar con seis cifras decimales la coordenada x del punto de intersección del primer cuadrante de las gráficas de las dos ecuaciones:

y=x^3-3x^2+1, y=3cos^2(x) en el intervalo [1.5,3].

Answer 1

La abscisa de la intersección entre funciones es x=3,195075.

Explicación paso a paso:

El método de Newton para hallar una raíz consiste en aplicar aproximaciones sucesivas utilizando la expresión:

$x_{n+1}=x_n+\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$

Si lo que queremos hallar es la intersección entre las dos funciones, podemos aplicar ese método con la diferencia entre ellas:

$g=x^3-3x^2+1-(3cos^2(x))=x^3-3x^2+1-3cos^2(x)$

Entonces empezamos aplicando el método para x=3:

$g'=3x^2-6x+6cos(x).sen(x)\\\\x_{2}=3-\frac{3.3^3-3.3^2+1-3cos^2(3)}{3.3^2-6.3+6cos(3).sen(3)}=3-\frac{-1,94025543}{8,161753505}=3,237725$

Tenemos que seguir aplicando el método hasta que la diferencia entre funciones (el numerador de la expresión anterior) sea aproximadamente cero:

$x_3=x_2-\frac{g(x_2))}{g'(x_2)}=3,237725-\frac{0,519681612}{12,59549267}=3,196466\\\\x_4=x_3-\frac{g(x_3))}{g'(x_3)}=3,196466-\frac{0,016394705}{11,80196792}=3,195076834$

Cuando luego de dos iteraciones las 6 primeras cifras no varíen tendremos la abscisa con 6 cifras. Luego de varias iteraciones llegamos a:

$x_5=3,195075\\x_6=3,195075$