Problema: Si tenemos en cuenta que la carga Q en el capacitor de un circuito RLC queda descrita por:Lq ̈(t)+Rq ̇(t)+1/C q(t)=E(t), donde L es la Inductancia, R la resistencia, C la capacitancia y E la fuente de voltaje. Como la resistencia de un resistor se incrementa con la temperatura, supongamos que el resistor se calienta de modo que R(t)=1+t/10 Ω. Si L=0,1 henrios,C=2 faradios,E(t)= 0,q(0)= 10 coulombs y q ̇(0)=0 A
Respuestas
Lq ̈(t)+Rq ̇(t)+1/C q(t)=E(t)
donde R es variable con la temperatura, debemos establecer lun valor de t para poder calcular la Ecuación diferencial auxiliar:
si t=0 entonces R=1Ω
Sustuimos valores en la ecuación diferencial original:
0.1q ̈(t)+q ̇(t)+1/2 q(t)=0
Sustituimos a q(t) por m
0.1m^2+m+1/2=0
Encontramos el valor de m resolviendo la ecuación cuadrática y obtenemos que:
m1=-5+2√5
m2=-5-2√5
Por lo que nuestra Ecuación Diferencial auxiliar es:
q(t)=C1e^(m1t)+C2e^(m2t)
q(t)=C1e^(-5+2√5)t+C2e^(-5-2√5)t (I)
Evaluamos la ecuación (I) en las condiciones iniciales
q(0)=C1+C2 (II)
q'(t)= (-5+2√5)C1e^(-5+2√5)t+(-5-2√5)C2e^(-5-2√52)t
q'(0)=(-5+2√5)C1+(-5-2√5)C2 (III)
10- C1=C2 (IV)
-(-5+2√5)C1/(-5-2√5)=C2 (V)
Aplicando el método de igualación, igualamos (IV) y (V) para encontrar el valor de las constantes:
10-C1= -(-5+2√5)C1/(-5-2√5)
10=-(-5+2√5)C1/(-5-2√5)+C1
10=C1(-(-5+2√5)/(-5-2√5)+1)
10=C1(-8+4√5)
C1= 10/(-8+4√5)
C2=10-10/(-8+4√5)
Finalmente la solución a nuestra Ecuación Diferencial es:
q(t)=10/(-8+4√5)e^(-5+2√5)t+[10-10/(-8+4√5)]e^(-5-2√52)t
Tenemos que los cincos primeros términos del circuito RCL, formado por la ecuación Lq''(t)+Rq'(t)+1/C q(t)=E(t) son:
- Primera serie de potencia: S₁ = -0.15 - 0.15·(-0.26x)¹/1! - 0.15·(-0.26x)²/2! - 0.15·(-0.26x)³/3! - 0.15·(-0.26x)⁴/4!
- Segunda serie de potencia: S₂ = 2.15 + 2.15·(-3.73x)¹/1! + 2.15·(-3.73x)²/2! - 2.15·(-3.73x)³/3! - 2.15·(-3.73x)⁴/4!
EXPLICACIÓN:
Tenemos lo siguiente:
- Lq''(t)+Rq'(t)+1/C q(t)=E(t)
Tenemos los valores de L, R y C, que son:
C = 4F
L = 0.25 H
Para R sabemos que t = 0, posición inicial, entonces:
R = (1+0/8) Ω
R = 1 Ω
Se sustituyen los valores en la ecuación original:
0.25q''(t)+1q'(t)+1/4 q(t)=E(t)
Tenemos una ecuación de segundo orden que debemos solucionar, para ello debemos buscar la ecuación característica.
0.25·m² + m + 1/4 = 0
Solucionamos aplicando resolvente y tenemos:
- m₁ = -0.26
- m₂ = -3.73
Entonces, nuestra ecuación diferencial tiene una solución de la siguiente forma:
- q(t)=C₁e^(m₁t)+C₂e^(m₂t)
Sustituimos los valores encontrados:
q(t)=C₁e^(-0.26t)+C₂e^(-3.73t)
Aplicamos las condiciones iniciales, es decir, q(0) = 2 y tenemos que:
q(0)=C₁+C₂ = 2
Ahora derivamos:
q'(t)= -0.26C₁e^(-0.26t)-3.73C₂e^(-3.73t)
Evaluamos en la condición, es decir, q'(0) = 0
q'(0) = -0.26C₁ - 3.73C₂ = 0
Con nuestras dos ecuaciones procedemos despejar el valor de las constantes:
C₁ = 2-C₂
-0.26(2-C₂) - 3.73C₂ = 0
-0.52 + 0.26C₂ - 3.73C₂ = 0
Obteniendo que:
- C₂ = -0.15
- C₁ = 2.15
Por tanto, nuestra solución será:
q(t)=-0.15e^(-0.26t)+2.15e^(-3.73t)
¿SERIE DE POTENCIA?
Debemos comenzar de la serie de potencia más básica, es decir la f(x) = eˣ, tenemos:
eˣ = ∑xⁿ/n! → desde n = 0 hasta ∞
Partiendo de esto obtenemos la serie de potencia que necesitamos, tenemos:
-0.15eˣ = -0.15·∑xⁿ/n!
-0.15e^(-0.26x) = -0.15·∑(-0.26x)ⁿ/n!
Nuestra serie de potencia es entonces:
S₁ = -0.15·∑(-0.26x)ⁿ/n!
Lo mismo se hace para el segundo termino y tenemos:
S₂ = 2.15·∑(-3.73x)ⁿ/n!
Nos piden los 5 primeros términos, lo haremos de manera individual, para ello le debemos dar valores a la serie, desde n = 0 hasta n = 4, ya que son los primeros 5 términos.
Primera serie de potencia:
S₁ = -0.15 - 0.15·(-0.26x)¹/1! - 0.15·(-0.26x)²/2! - 0.15·(-0.26x)³/3! - 0.15·(-0.26x)⁴/4!
Segunda serie de potencia:
S₂ = 2.15 + 2.15·(-3.73x)¹/1! + 2.15·(-3.73x)²/2! - 2.15·(-3.73x)³/3! - 2.15·(-3.73x)⁴/4!
Teniendo de esta manera los 5 primeros términos de la serie de potencia, para simplificar se puede sumar y realizar operaciones, esto se dejara para el usuario.
- St = S₁ + S₂
NOTA: para obtener la serie de potencia se deben aplicar propiedades básicas de la serie de potencia.
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