Question

Problema: Si tenemos en cuenta que la carga Q en el capacitor de un circuito RLC queda descrita por:Lq ̈(t)+Rq ̇(t)+1/C q(t)=E(t), donde L es la Inductancia, R la resistencia, C la capacitancia y E la fuente de voltaje. Como la resistencia de un resistor se incrementa con la temperatura, supongamos que el resistor se calienta de modo que R(t)=1+t/10 Ω. Si L=0,1 henrios,C=2 faradios,E(t)= 0,q(0)= 10 coulombs y q ̇(0)=0 A

Answer 1

La ecuación diferencial correspondiente a la carga de un capacitor:

Lq ̈(t)+Rq ̇(t)+1/C q(t)=E(t)

donde R es variable con la temperatura, debemos establecer lun valor de t para poder calcular la Ecuación diferencial auxiliar:

si t=0 entonces R=1Ω

Sustuimos valores en la ecuación diferencial original:

0.1q ̈(t)+q ̇(t)+1/2 q(t)=0

Sustituimos a q(t) por m

0.1m^2+m+1/2=0

Encontramos el valor de m resolviendo la ecuación cuadrática y obtenemos que:

m1=-5+2√5
m2=-5-2√5

Por lo que nuestra Ecuación Diferencial auxiliar es:

q(t)=C1e^(m1t)+C2e^(m2t)

q(t)=C1e^(-5+2√5)t+C2e^(-5-2√5)t (I)

Evaluamos la ecuación (I)  en las condiciones iniciales

q(0)=C1+C2 (II)

q'(t)= (-5+2√5)C1e^(-5+2√5)t+(-5-2√5)C2e^(-5-2√52)t

q'(0)=(-5+2√5)C1+(-5-2√5)C2 (III)

10- C1=C2 (IV)
-(-5+2√5)C1/(-5-2√5)=C2 (V)
Aplicando el método de igualación, igualamos (IV) y (V) para encontrar el valor de las constantes:

10-C1= -(-5+2√5)C1/(-5-2√5)
10=-(-5+2√5)C1/(-5-2√5)+C1
10=C1(-(-5+2√5)/(-5-2√5)+1)
10=C1(-8+4√5)
C1= 10/(-8+4√5)
C2=10-10/(-8+4√5)

Finalmente la solución a nuestra Ecuación Diferencial es:

q(t)=10/(-8+4√5)e^(-5+2√5)t+[10-10/(-8+4√5)]e^(-5-2√52)t