Question

Comprueben la siguiente identidad trigonométrica.

[sen(A)−cos(A)][cot(A)+tan(A)]=sec(A)−csc(A)

Answer 1

Respuesta:

→ La igualdad es correcta.

Explicación paso a paso:

Tema: $\large\textsf{Identidades trigonom\'etricas}$

Veamos. ↓

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$[\text{Sen(A) - Cos(A)]}[\text{Cot(A) + Tan(A)]}=\text{Sec(A) - Csc(A)}$

A la expresión [Cot(A) + Tan(A)] la vamos a expresar en las razones Sen(A) y Cos(A).

Saber que:

• Cot(A) = Cos(A)/Sen(A)

• Tan(A) = Sen(A)/Cos(A)

$[\text{Sen(A) - Cos(A)]}\Big[\dfrac{\text{Cos(A)}}{\text{Sen(A)}}+\dfrac{\text{Sen(A)}}{\text{Cos(A)}} \Big]=\text{Sec(A)-Csc(A)}$

Utilizamos Sonrisa en las fracciones que tenemos.

$[\text{Sen(A) - Cos(A)]}\Big[\dfrac{\text{Cos(A)}\times\text{Cos(A)}+\text{Sen(A)}\times\text{Sen(A)}}{\text{Sen(A)}\times\text{Cos(A)}}\Big]=...$

Tener en cuenta que:

• Cos(A) × Cos(A) = Cos²(A)
• Sen(A) × Sen(A) = Sen²(A)

$[\text{Sen(A) - Cos(A)]}\Big[\dfrac{\text{Cos}^{2}(A)+\text{Sen}^{2}(A)}{\text{Sen(A)}\times\text{Cos(A)}} \Big]=...$

Recuerda:

• Cos²(A) + Sen²(A) = 1

$[\text{Sen(A) - Cos(A)]}\Big[\dfrac{1}{\text{Sen(A)}\times\text{Cos(A)}} \Big]=...$

A la división la vamos a convertir en dos divisiones.

$[\text{Sen(A) - Cos(A)]}\Big[\dfrac{1}{\text{Sen(A)}}\Big]\times\Big[\dfrac{1}{\text{Cos(A)}}\Big]=...$

• Csc(A) = 1/Sen(A)
• Sec(A) = 1/Cos(A)

$[\text{Sen(A) - Cos(A)]}[\text{Csc(A)}]\times[\text{Sec(A)}]=...$

Eliminamos los paréntesis gracias a Propiedad Distributiva.

$\text{Sen(A)}\times\text{Csc(A)}\times\text{Sec(A)}-\text{Cos(A)}\times\text{Csc(A)}\times\text{Sec(A)}=...$

Recuerda:

• Sen(A) × Csc(A) = 1
• Cos(A) × Sec(A) = 1

$1\times\text{Sec(A)}-1\times\text{Csc(A)}=\text{Sec(A) - Csc(A)}$

Todo número multiplicado por 1 da el mismo número.

$\text{Sec(A)}-\text{Csc(A)}=\text{Sec(A) - Csc(A)}$

La igualdad es correcta. Saludos, atentamente, Aíram.