Una escalera de 2.5 m reposa sobre una pared vertical. Si la base de la escalera resbala y se aleja de la base de la pared a razón de 0.3 m/s, ¿qué tan rápido baja la parte superior de la escalera cuando la base de la misma está a 0.7 m de la pared?
Respuestas
La parte superior de la escalera baja a una rapidez de: 0.0875 m/s
La escalera al reposarse en la pared forma un triángulo rectángulo, la distancia del suelo a la pared la llamamos X y la distancia del suelo a la base de la escalera la llamamos Y.
Tenemos como dato que la base de la escalera se aleja de la pared 0.3 m/s esto es: dy/dt = 0.3 m/s. Relacionando por Pitágoras:
X²+Y² = (2.5m)²
X²+Y² = 6.25m²
Como nos piden dx/dt cuando la base está alejada a 0,7 de la pared, entonces hallamos X desde la altura cuando Y= 0,7 m. Sustituimos:
X²= 6.25m²-Y²
X²= 6.25m²-(0.7m)²
X²= 5.76m²
X= √(5.76m²)
X= 2.4 m
Luego derivamos implícitamente respecto al tiempo:
d/dt(X²+Y²)=d/dt(6.25)
2xdx/dt+2ydy/dt=0
Despejamos dx/dt:
2xdx/dt = -2ydy/dt
dx/dt = (-y/x)(dy/dt)
Sustituyendo los valores específicos:
dx/dt = (-0.7/2.4)(0.3)
dx/dt = -0.0875 m/s
El resultado es negativo porque el punto más alto de la escalera está cayendo.