Question

si me ayudan a resolver estás funciones es ayar las derivadas de las siguientes funciones
con todas sus operaciones.
me dijieron que está es la formula
f'(x)=lim f(x+h)-(fx)
__________
h--->0 h​​

Answer 1

Podemos calcular la derivada de una función por definición encontrando el siguiente límite:

$\boxed{f^{\prime }(x)=\lim _{h\to 0}{f(x+h)-f(x) \over h}}$

Ejercicio 8

$f'(x) = \lim _{h\to 0}\left(\dfrac{\frac{1}{x+h+1}-\frac{1}{x+1}}{h}\right)$

Trabajamos con el numerador para simplificarlo:

$\dfrac{1}{x+h+1}-\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{x+1-\left(x+h+1\right)}{\left(x+1\right)\left(x+h+1\right)} = -\dfrac{h}{\left(x+1\right)\left(x+h+1\right)}$

Remplazamos:

$f'(x) = \lim _{h\to 0}\left(-\dfrac{h}{h\left(x+1\right)\left(x+h+1\right)}\right)$

$f'(x) = \lim _{h\to 0}\left(-\dfrac{1}{\left(x+1\right)\left(x+h+1\right)}\right)$

$f'(x) = -\dfrac{1}{\left(x+1\right)\left(0+x+1\right)}$

$f(x)=-\dfrac{1}{\left(x+1\right)^2}$

Ejercicio 9

$f'(x) = \lim _{h\to 0}\left(\dfrac{\sqrt{2\left(x+h\right)+3}-\sqrt{2x+3}}{h}\right)$

Desarrollamos el numerador multiplicando por el conjugado

$\left(\sqrt{2\left(x+h\right)+3}-\sqrt{2x+3}\right)\cdot \dfrac{\sqrt{2\left(x+h\right)+3}+\sqrt{2x+3}}{\sqrt{2\left(x+h\right)+3}+\sqrt{2x+3}}$

$=\dfrac{2\left(x+h\right)+3-(2x+3)}{\sqrt{2\left(x+h\right)+3}+\sqrt{2x+3}}$

$=\dfrac{2h}{\sqrt{2\left(x+h\right)+3}+\sqrt{2x+3}}$

$f'(x) = \lim _{h\to 0}\left(\dfrac{2h}{h\sqrt{2\left(x+h\right)+3}+\sqrt{2x+3}}\right)$

$f'(x) = \lim _{h\to 0}\left(\dfrac{2}{\sqrt{2\left(x+h\right)+3}+\sqrt{2x+3}}\right)$

$f'(x) = \dfrac{2}{\sqrt{2\left(x+0\right)+3}+\sqrt{2x+3}}$

$f'(x) = \dfrac{2}{\sqrt{2x+3}+\sqrt{2x+3}}$

$f'(x) = \dfrac{2}{2\sqrt{2x+3}}$

$f'(x) = \dfrac{1}{\sqrt{2x+3}}$