Resuelva y dibuje un triángulo rectángulo del
cual se conoce que uno de sus ángulos es
45°, y uno de su hipotenusa es de 8
AYUDA
Respuestas
Respuesta:
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Explicación paso a paso:
Orientación
Hay unos pocos tipos de triángulos rectángulos que son particularmente importantes de estudiar. Sus lados siempre están en la misma proporción y es crucial estudiar los triángulos 45∘−45∘−90∘ y 30∘−60∘−90∘ y comprender la relación entre los lados. Te ahorrará tiempo y energía mientras trabajas en problemas matemáticos simples y complicados.
Comencemos aprendiendo acerca del 45∘−45∘−90∘ .
Primero, piensa a qué se refiere 45∘−45∘−90∘ Aquellos valores se refieren a las medidas de los ángulos en el triángulo rectángulo. Podemos ver que hay un ángulo de 90 grados y que los otros dos ángulos tienen la misma medida. Este triángulo en particular también es isósceles . Un triángulo isósceles tiene dos lados con la misma longitud. Un triángulo rectángulo isósceles siempre tendrá las mismas medidas de ángulos: 45∘,45∘ , y 90∘ y siempre tendrán dos lados con la misma longitud. Estas características lo hace un triángulo rectángulo especial.
Ya que estos ángulos siempre serán los mismos, los lados siempre estarán en proporción. Para encontrar la relación entre los lados, usa el Teorema de Pitágoras.
Mira esta situación.
El triángulo rectángulo isósceles siguiente tiene catetos que miden un centímetro. Usa el Teorema de Pitágoras para encontrar la longitud de la hipotenusa.
[Figure 2]
Como el problema dice, puedes usar el Teorema de Pitágoras para encontrar la longitud de la hipotenusa. Ya que cada cateto mide 1 centímetro a y b son iguales a 1 y podrás resolver para encontrar c .
a2+b2(1)2+(1)21+122–√2–√=c2=c2=c2=c2=c2−−√=c
Podemos mirar esto y comprender que también hay un 1 en frente de la raíz cuadrada de dos. Esto muestra que la relación entre la longitud de un lado y la longitud de una de la hipotenusa siempre será la misma La hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles siempre igualará el producto de un cateto y 2–√ .
[Figure 3]
Anota en tu cuaderno bajo los triángulos rectángulos especiales 45∘−45∘−90∘ Encuentra cada hipotenusa.
Un triángulo con lados de longitud .
Ejemplo A
Un triángulo con lados de longitud 9.
Solución:  92–√
Ejemplo B
Un triángulo con lados de longitud 15.
Solución:  152–√
Ejemplo C
Un triángulo con lados de longitud 32–√
Solución:  6
Ahora, regresemos al problema que encontramos al principio de la Sección.
El primer paso en un problema de esta naturaleza es añadir la información importante al bosquejo. Ya que el problema te pide encontrar la longitud de un camino desde una esquina a la otra, deberías dibujar ese camino.
[Figure 4]
Cuando lo hayas hecho, puedes observar que esta es una pregunta sobre triángulos. Ya que ambos catetos del triángulo tienen la misma medida (10 pies), este es un triángulo rectángulo isósceles. Los ángulos de un triángulo rectángulo isósceles son 45∘,45∘ , y 90∘ .
En un triángulo rectángulo isósceles, la hipotenusa siempre igualará el producto de la longitud de un cateto y 2–√ . Por lo tanto, la longitud del camino será el producto de 10 y 2–√ , o 102–√ feet . Este valor es, aproximadamente, igual a 14,14 pies.
Vocabulario
Triángulo Isósceles
Un triángulo con dos lados del mismo largo.
Triángulo 45/45/90
Un triángulo rectángulo isósceles especial.
Práctica Guiada
Aquí hay un ejercicio para que trates tú mismo.
¿Cuál es la longitud de la hipotenusa en el siguiente triángulo?
[Figure 5]
Solución
Ya que la longitud de la hipotenusa es el producto de un cateto y 2–√ , puedes calcular fácilmente esta longitud. Es fácil porque sabemos que con cualquier triángulo de 45/45/90 grados, la hipotenusa es el producto de uno de los catetos y la raíz cuadrada de 2.
Un cateto tiene 3 pies, así que la hipotenusa será 32–√ , o alrededor de 4,24 pies.
Para obtener la respuesta, tomamos la raíz cuadrada de dos en la calculadora, 1,414 y luego multiplicarlo por 3.
3×1.414=4.242
Lo aproximamos para obtener la respuesta.