Question

En qué polígono el número de lados es la cuarta parte de su número de diagonales en total​

Answer 1

                LADOS  Y  DIAGONALES  

                    EN   UN  POLÍGONO

Tenemos una fórmula que nos facilita calcular el nº de diagonales de cualquier polígono en función del número de vértices o lados  (siempre hay el mismo nº de vértices que de lados)

Siendo "n" el nº de lados y "d" el nº de diagonales, la fórmula dice:

$d=\dfrac{n (n-3)}{2}$

Ahora bien, para este ejercicio tenemos la pista de que el nº de lados es la cuarta parte del número de diagonales y esto lo puedo representar así:

$n=\dfrac{d}{4} \\\\de\ donde\ despejo\ "d"\ ...\\\\d=4n$

Sustituyo en la fórmula de arriba y resuelvo despejando "n":

$4n=\dfrac{n(n-3)}{2} \\ \\ 8n=n^2-3n\\ \\ n^2-11n=0$

Nos sale una ecuación incompleta de 2º grado que se resuelve sacando factor común de "n":

n·(n-11) = 0

Es un producto donde puede ocurrir que la "n" de fuera del paréntesis sea igual a cero o bien lo de dentro del paréntesis sea igual a cero, y como consecuencia salen dos soluciones:

n = 0 ... que no nos sirve ya que no tiene lógica un polígono de cero lados.

n-11 = 0 ... ------->  n = 11

Finalmente la solución correcta es que el polígono

tiene 11 lados y se llama endecágono.