Question

Hola, pueden ayudarme con esta demostración:

Sean x,y ∈ R. Entonces

║x + y║ ≤ ║x║ + ║y║

Es la desigualdad triangular

Answer 1

Hola, aquí va la respuesta

            Desigualdad Triangular

Sean x,y ∈ R. Entonces  se cumple que:

                      ║x + y║ ≤ ║x║ + ║y║

Para esta demostración, usaremos 2 proposiciones con sus respectivas demostraciones

Proposición 1: Sea x ∈ R  y  β ≥ 0. Entonces

     ║x║ ≤ β        ⇔   -β ≤ x ≤ β

                             Prueba

Demostraremos que si ║x║≤ β          ⇒  -β ≤  x ≤ β

Sabemos que:

x= ║x║

Por hipótesis tenemos:

x= ║x║ ≤ β

x ≤ β  (por transitividad)

Faltaría que -β ≤ x

Como  x ≤ β

x -x - β ≤ β - β -x    (lo que hice fue pasar a β al otro lado y a "x" lo mismo)

-β ≤ -x

Como -x es negativo, sabemos que será menor o igual que cualquier número positivo

-β ≤ -x ≤ x

-β ≤ x  

Entonces ya probamos que:

-β ≤ x ≤ β      

Proposición 2:  Sea x ∈ R. entonces:

       -║x║ ≤ x ≤ ║x║

Esta demostración es sencilla, solo aplicamos la proposición anterior

                                  Prueba

Sabemos que:     ║x║ ≤ ║x║  

Por proposición 1, tenemos que:

 -║x║ ≤ x ≤ ║x║  

Y queda demostrado

Ahora si podemos empezar con lo que queremos en realidad

          Demostración Desigualdad triangular

Sean x, y ∈ R. Por la proposición 2 tenemos que:

(1) -║x║ ≤ x ≤ ║x║      

(2) -║y║ ≤ y ≤ ║y║      

Sumando (1) y (2):

-║x║ - ║y║ ≤ x + y ≤ ║x║ + ║y║

-(║x║ + ║y║ ≤ x + y ≤ (║x║ + ║y║)

Por la proposición 1 nos queda:

║x+y║ ≤ ║x║ + ║y║    Q.E.D

Te dejo la demostración de la desigualdad triangular en su forma general

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Saludoss