Question

ayúdenme me urge
encontrar la derivada de las siguientes funciones
con todas sus operaciones sin saltarse ninguna​
está me dijieron que es su formula
f'(x)=lim f(x+h)-(fx)
__________
h--->0 h

Answer 1

Podemos calcular la derivada de una función por definición encontrando el siguiente límite:

$\boxed{\displaystyle \displaystyle f^{\prime }(x)=\lim _{h\to 0}{f(x+h)-f(x) \over h}}}$

Para f(x) = 2x³ - 3x² + 3

$\displaystyle f'(x) = \lim _{h\to 0}\left(\frac{2\left(x+h\right)^3-3\left(x+h\right)^2+3-\left(2x^3-3x^2+3\right)}{h}\right)$

- Desarrollamos los binomios:$\displaystyle f'(x) = \lim _{h\to 0}\left(\frac{2\left(x^3+3x^2h+3xh^2+h^3\right)-3\left(x^2+2xh+h^2\right)+3-\left(2x^3-3x^2+3\right)}{h}\right)$- Simplificamos el numerador

$\displaystyle f'(x) = \lim _{h\to 0}\left(\frac{2h^3+6xh^2-3h^2+6x^2h-6xh}{h}\right)$

-Dividimos entre h

$\displaystyle f'(x) = \lim _{h\to 0}\left(2h^2+6xh-3h+6x^2-6x\right)$

- Evaluamos en h = 0

$\displaystyle f'(x) = 2(0)^2+6x(0)-3(0)+6x^2-6x$

$\displaystyle\boxed{ f'(x) =6x^2-6x}$

Para f(x) =2/√(x-1)

$\displaystyle f'(x) = \lim _{h\to 0}\left(\frac{\dfrac{2}{\sqrt{\left(x+h\right)-1}}\:-\dfrac{2}{\sqrt{x-1}}\:}{h}\right)$

Multiplicamos numerador por el conjugado:

$\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to \:0}\left(\frac{\frac{4}{x+h-1}-\frac{4}{x-1}}{h\left(\frac{2}{\sqrt{x+h-1}}+\frac{2}{\sqrt{x-1}}\right)}\right)$

-Simplificamos realizando las sumas y restas en numerador y denominador:

$f'(x)=\lim _{h\to \:0}\left(-\dfrac{2}{\left(\sqrt{x-1}+\sqrt{h+x-1}\right)\sqrt{x-1}\sqrt{h+x-1}}\right)$

Evaluamos h = 0:

$f'(x)=-\dfrac{2}{\left(\sqrt{x-1}+\sqrt{0+x-1}\right)\sqrt{x-1}\sqrt{0+x-1}}$

$\boxed{f'(x)=-\frac{1}{\left(x-1\right)\sqrt{x-1}}=-\frac{1}{\left(x-1\right)^{\frac{3}{2}}}}$