Question

VI.-Determina la Naturaleza de las raíces , las intersecciones (si existen) con el eje X y la intersección con el eje Y de las siguientes funciones cuadráticas:
1) f(x) = x^2 +25

2) f(x) = x^2 -4x - 21

3) f(x) = x^2 +2x + 6

4) f(x) = x^2 + 7

Answer 1

Para hallar las intersecciones con el eje y, sabes que x vale cero entonces reemplazas x por cero, te quedan
(0,25)  (0,-21)  (0,6)  (0,7)
En general coincide con el valor sin x ya que estas reemplazando x por cero
entonces lo que está multiplicado por x, todos esos términos, se te hacen cero

Para las raices tenes que igualar a cero

x^2+25=0  entonces x^2=-25  tiene solución pero no en reales, 
ya que no hay ningún nº real que multiplicado por si mismo de algo negativo
en complejos las soluciones serían x=+-5i

lo mismo para el último 
x^2+7=0   entonces  x^2=-7  las soluciones serían x=+-raizde7 por i

Para los demás En general podes usar la ecuación de la resolvente

2)  x=4+-raiz de (16+4*21) todo sobre 2
     x=4+-raiz de 100 todo sobre 2
     x=4+-10 todo sobre 2
Las dos raíces (ambas reales) son 7 y -3

3) x=-2+-raiz de (4-4*6) todo sobre 2
    x=-2+-raiz de -20 todo sobre 2
De nuevo tiene solución solo en complejos
    x=-2+-raizde20 por i todo sobre 2

x=-1+-raiz de 20 sobre 2 por i   
Raiz de 20 sobre 2, como 20 es 4 * 5, es igual a raiz de 4 por raiz de 5 es decir 2 por raiz de 5. Entonces (raiz de 20)/2 te queda raiz de 5

Luego, x=-1+-raiz de 5 por i