Question

1. En el sistema mostrado en la Fig. 1, se cumple que BC = xBA, mientras que CA = yBA.

Probar que

c = xa + yb​

Answer 1

Esta figura verifica la suma vectorial $c=xa+yb$

Explicación:

En la  figura podemos trazar un segmento paralelo al vector OB, que vamos a llamar CA'. Se forman los triángulos semejantes BOA y CA'A, y el módulo de CA' es:

$CA'=b\frac{y}{x+y}$

Y a su vez tenemos para el segmento BA':

$BA'=a\frac{y}{x+y}$

Por lo que el módulo del vector OA' queda:

$OA'=a-\frac{y}{x+y}a=a\frac{x+y-y}{x+y}=a\frac{x}{x+y}$

Siendo el vector c igual a la suma de los vectores CA' y OA':

$c=a\frac{x}{x+y}+b\frac{y}{x+y}=\frac{xa+yb}{x+y}$

Pero también tenemos:

$x=\frac{BC}{BA}\\\\y=\frac{CA}{BA}\\\\x+y=\frac{BC}{BA}+\frac{CA}{BA}=1$

Por lo que queda:

$c=xa+yb$