Question

En un triángulo, el cuadrado de la hipotenusa es seis veces el área de dicho triángulo. Siendo "∅" uno de sus ángulos agudos.
Calcular: sen∅.cos∅

Answer 1

El área de un triángulo rectángulo es el producto de sus catetos (cateto 1 y cateto 2) entre 2: 
Área = $\frac{ C_{1} C_{2} }{2}$

Del dato del problema, la hipotenusa al cuadrado es igual a 6 veces el área del triángulo, quedaría representada así:
$h^{2} = 6 \frac{ C_{1} C_{2} }{2}$

Simplificando el 6 con el 2, quedaría así:
$h^{2} = 3 C_{1} C_{2}$

Luego, tenemos que:
$\frac{ C_{1} C_{2} }{ h^{2} } = \frac{1}{3}$ (Ecuación 1)

Desarrollando el producto Sen∅.Cos∅ tenemos:
Sen∅ = $\frac{C1}{h}$ y
Cos∅ = $\frac{C2}{h}$

Entonces Sen∅.Cos∅ será:
$\frac{ C_{1} }{h} \frac{ C_{2} }{h} = \frac{ C_{1} C_{2} }{ h^{2} }$

De la ecuación 1, tenemos entonces que:
$\frac{ C_{1} C_{2} }{ h^{2} } = \frac{1}{3}$