1. Calcula el valor de los siguientes límites.
a. lim (3x2 - 5x + 4)
e. lim
(3x+4)3
x→-24x+5
x2-8
b. lim
x-2x+2
f. lim V x + x + 8
x→1
C. lim 2*+3
X→2
g. lim
√x-2
x+11 X+3
d. lim V3 - 2x2 + x2
X→1
Respuestas
Respuesta:1. 11 LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Y RAMAS INFINITAS Página 272 PARA EMPEZAR, REFLEXIONA Y RESUELVE 2 El valor de la función f (x) = x + 4x – 45 para x = 5 no se puede obtener directa- 2x – 10 mente porque el denominador se hace cero. Lo obtendremos por aproximaciones sucesivas, dando a x los valores 4; 4,9; 4,99; … I Comprueba que: f (4) = 6,5; f (4,9) = 6,95; f (4,99) = 6,995 I Calcula f (4,999); f (4,9999); f (4,99999); … I ¿Te parece razonable afirmar que, cuando x se aproxima a 5, el valor de f (x) se aproxima a 7? Lo expresamos así: lím f (x) = 7 x→5 x2 + 4x – 45 , entonces: I Si f (x) = 2x - 10 f (4,999) = 6,9995; f (4,9999) = 6,99995; f (4,99999) = 6,999995 lím f (x) = 7 x→5 2 I Calcula, análogamente, lím x + 6x – 27 . x→3 2x – 6 I f (2) = 5,5; f (2,9) = 5,95; f (2,99) = 5,995; f (2,999) = 5,9995; f (2,9999) = 5,99995 lím f (x) = 6 x→3 Problema 1 Representa gráficamente las siguientes funciones y di, de cada una de ellas, si es continua o discontinua: 4 x<0 2 a) y = x + 3 x<1 b) y = 4 – x 0≤x≤5 5 – x2 x≥1 2x – 11 x>5 x2 x<0 — c) y = √x + 3 x<1 d) y = 2x 0≤x<3 2/x x≥1 x+2 x≥3 Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas 1
2. a) b) 6 6 4 4 2 2 –2 2 –4 –2 2 4 6 8 –2 –2c) 6 d) 8 4 6 2 4 –4 –2 2 4 6 2 –2 –4 –2 2 4 6Las tres primeras son continuas y d) es discontinua.Página 273Problema 2 x 2 – 3x + 1Vamos a comprobar que la gráfica de la función y = f (x) = se x–1aproxima a la recta de ecuación y = x – 2.I Completa en tu cuaderno esta representación, obteniendo los valores de f (x) para los siguientes valores de x : 5, 6, 7, 8, 9, 10 y 11Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas 2
3. Comprueba para valores muy grandes de x que la diferencia entre curva y recta llega a ser muy pequeña. x 50 100 1 000 y = f (x) y=x–2 DIFERENCIA De este modo se comprueba que la recta y = x – 2 es asintota de la función x 2 – 3x + 1 y= x–1I Comprueba, mediante pasos similares a los anteriores, que la función x3 y= 2 tiene por asíntota a la recta de ecuación y = x + 2. x – 2xI x 5 6 7 8 9 10 11 10 f (x) 2,75 3,8 4,83 5,86 6,88 7,89 8,9 8 6 x 50 100 1 000 4 y = f (x) 47,98 97,99 997,999 2 y=x–2 48 98 998 DIFERENCIA 0,02 0,01 0,001 –2 2 4 6 8 10 –2 x3 10I Para y = f (x) = x2 – 2x 8 x 50 100 1 000 6 y = f (x) 52,08 102,04 1 002,004 4 y=x+2 52 102 1 002 2 DIFERENCIA 0,08 0,04 0,004 –2 2 4 6 8 –2Página 2751. Explica por qué la función y = x 2 – 5 es continua en todo Á. Porque es polinómica.2. Explica por qué la función y = √ 5 – x es continua en (– ∞, 5]. Porque (–∞, 5] es su dominio, y en él no hay ningún punto crítico.Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas 3