Question

Corregir :DERIVAR ejercicio 2 con gráfico, por favor gracias, es urgente

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Answer 1

$\texttt{Al parecer la pregunta trata de la gr\'afica de la funci\'on }\\ f(x)=2x^3-4x-8\\ \\ \\ \texttt{Primero hallemos los puntos cr\'iticos mediante la primera}\\ \texttt{derivada: }\\ \\ f'(x)=6x^2-4\\ \\ \texttt{igualamos a }0\\ \\ 6x^2-4=0\\\\ x^2=2/3\\\\ x=\pm\sqrt{2/3}\approx \pm0.817$


$\texttt{Ahora veamos los intervalos de monoton\'ia de la funci\'on:}\\ \\ \bullet\, x\in\left(-\infty,-\sqrt{\frac{2}{3}}\right)\to f'(x)\ \textgreater \ 0\;\cdots\cdots f \texttt{ es creciente} \\ \\ \bullet\, x\in \left(-\sqrt{\frac{2}{3}},\sqrt{\frac{2}{3}}\right)\to f'(x)\ \textless \ 0\;\cdots\cdots f \texttt{ es decreciente} \\ \\ \bullet\, x\in \left(\sqrt{\frac{2}{3}},+\infty\right)\to f'(x)\ \textgreater \ 0\;\cdots\cdots f \texttt{ es creciente}$

$\texttt{Ahora veamos si existen puntos de inflexi\'on mediante la }\\ \texttt{segunda derivada:}\\ \\ f''(x)=12x\\ \\ \texttt{igualamos a cero ...}\\ \\ 12x =0\\ \\ x=0\\ \\ \bullet\, x\in (-\infty,0)\to f''(x)\ \textless \ 0\;\cdots\cdots f\texttt{ se abre hacia abajo}\\ \\ \bullet\, x\in (0,+\infty)\to f''(x)\ \textgreater \ 0\;\cdots\cdots f\texttt{ se abre hacia arriba}$


$\textbf{Resumen:}\\ \\ \begin{array}{|c||c|c|c|c|} \cline{1-5}&&&&\\ \texttt{Intervalos}&\left(-\infty,-\sqrt{\frac{2}{3}}\right)&\left(-\sqrt{\frac{2}{3}},0\right)&\left(0,\sqrt{\frac{2}{3}}\right)&\left(\sqrt{\frac{2}{3}},+\infty\right)\\ &&&&\\ \cline{1-5}&&&&\\ \texttt{Monoton\'ia}&\nearrow&\searrow&\searrow&\nearrow\\ &&&&\\ \cline{1-5}&&&&\\ \texttt{inflexi\'on}&\frown&\frown&\smile&\smile\\&&&&\\ \cline{1-5} \end{array}$

La gráfica la dejo abajo