Question

cual sera la longitud de una escalera que se encuentra apoyada en una pared una altura de 4m y su base esta a 2 m de distancia cula sera el ángulo que forma la escalera con el suelo​

Answer 1

La longitud de la escalera es de aproximadamente 4.47 metros

El valor del ángulo que forma la escalera con el suelo es de aproximadamente 63.43°

Se tiene una escalera apoyada en una pared que tiene 4 metros de altura, y su base se encuentra a 2 metros de distancia de la pared.

Se pide determinar que longitud debe tener la escalera

Y cuál será el ángulo que la escalera forma con el suelo

a) Hallando la longitud de la escalera

Determinamos la longitud de la escalera empleando el teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras dice que: "En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos"

$\large\boxed {\bold { cateto \ 1^{2} \ + \ cateto \ 2^{2}= hipotenusa^{2} }}$

$\large\boxed {\bold { a^{2} \ + \ b^{2}= c^{2} }}$

El ángulo que forma la altura de la pared con el suelo es un ángulo recto, con lo que tenemos un triángulo rectángulo.

Donde la distancia a la que se encuentra la base de escalera hasta la pared forma un cateto, el otro cateto lo conforma la altura de la pared y donde la longitud de la escalera es la hipotenusa del triángulo rectángulo

Conocemos la altura de la pared (cateto 1) y la distancia de la base de la escalera a la pared (cateto 2)  

Empleamos la notación habitual para los triángulos rectángulos donde °a" será el cateto que representa la altura de la pared, "b" es el cateto que equivale a la distancia de la base de la escalera a la pared, y "c" que es la hipotenusa es la longitud de la escalera

Debemos hallar la longitud de la escalera de acuerdo a los datos dados

Aplicando teorema de Pitágoras

$\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} \ + \ b^{2} }}$

$\boxed {\bold { c^{2} = (4 \ m) ^{2} \ + \ (2 \ m )^{2} }}$

$\boxed {\bold { c^{2} = 16 \ m^{2} \ + \ 4\ m^{2} }}$

$\boxed {\bold { c^{2} = 20 \ m^{2} }}$

$\boxed {\bold { \sqrt{ c^{2} } = \sqrt{20 \ m^{2} } }}$

$\boxed {\bold { c = \sqrt{20 \ m^{2} } }}$

$\boxed {\bold { c \approx 4.4721359 \ metros }}$

$\large\boxed {\bold { c \approx 4.47 \ metros }}$

La longitud de la escalera es de aproximadamente 4.47 metros

Hallamos el ángulo que forma la escalera con el suelo

Para hallar el valor del ángulo recurrimos a las razones trigonométricas habituales

Dado que por enunciado conocemos el valor del cateto opuesto al ángulo buscado que es el cateto "a" que representa a la altura de la pared, y el valor del cateto adyacente "b" que equivale a la distancia de la base de la escalera a la pared

Si la tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto (a) y el cateto adyacente (b)

Relacionamos los datos que tenemos con la tangente del ángulo α

Planteamos

$\boxed { \bold { tan(\alpha )^ o = \frac{cateto \ opuesto }{ cateto \ adyacente } = \frac{a}{b} }}$

$\boxed { \bold { tan(\alpha) ^ o= \frac{altura \ pared }{distancia\ a \ pared } = \frac{a}{b} }}$

$\boxed { \bold { tan(\alpha) ^ o= \frac{a}{b} }}$

$\boxed { \bold { tan(\alpha) ^ o= \frac{4 \not m }{2 \not m } }}$

$\boxed { \bold { tan(\alpha) ^ o= 2 }}$

Aplicamos la inversa de la tangente

$\boxed { \bold { \alpha = arctan( 2) }}$

$\boxed { \bold { \alpha = 63.43494 ^o }}$

$\large\boxed { \bold { \alpha = 63.43 ^o }}$

El valor del ángulo que forma la escalera con el suelo es de aproximadamente 63.43°