Question

Una circunferencia x2 + y2 -10x = 0 se corta con la recta L: 4x +3y -20 = 0 formándose una cuerda AB.Hallar las ecuaciones de las tangentes a la circunferencia en los puntos ‘’A’’ y ‘’B’’

Answer 1

Buscamos la forma ordinaria de la ecuación de la circunferencia completando cuadrados para obtener centro y radio

x² - 10 x + 25 + y² = 25

(x - 5)² + y² = 25

Centro: C(5, 0); radio = 5

Para hallar los puntos de A y B despejamos y de la ecuación de la recta

y = (20 - 4 x) / 3; reemplazamos en la ecuación de la circunferencia:

x² + [(20 - 4 x) / 3]² - 10 x = 0

Simplificando la ecuación quitando paréntesis y ordenando:

25/9 (x² - 10 x + 16 ) = 0

Ecuación de segundo grado en x.

Resulta x = 2, x = 8; quedando y = 4, y = - 4, respectivamente.

Puntos A(2, 4); B(8, - 4)

Para hallar las pendientes de las rectas tangentes, derivamos la ecuación de la circunferencia en forma implícita:

2 x + 2 y y' - 10 = 0

O sea y' = (5 - x) / y

Pendiente:

m = (5 - 2) / 4 = 3/4; m' = (5 - 8) / - 4 = 3/4≥

Rectas tangentes:

y - 4 = 3/4 (x - 2)

y + 4 = 3/4 (x - 8)

Adjunto gráfico