Respuestas
Respuesta:
b) l´ımx→0− x
2 = 0 y l´ımx→0+ −x
2 = 0 entonces l´ımx→0 f(x) = 0.
Como l´ımx→0 f(x) = 0 = f(0) se sigue que la funci´on es continua
en x = 0.
c) l´ımx→0− f
0
(x) = l´ımx→0− (2x) = 0 y l´ımx→0+ f
0
(x) = l´ımx→0+ (−2x) =
0 entonces l´ımx→0 f
0
(x) = 0. Como el l´ımite existe y es igual a 0,
se sigue que f es derivable en x = 0.
3. a) Si f(x) = x
2 +
1
2x−4
, ¿hay alg´un punto donde la pendiente de la
recta tangente a f sea igual a −
3
2
?.
b) Si f(x) = x −
1
2x
, encontrar un punto donde la pendiente de la
recta tangente a f sea igual a −
3
2
(si existe).
c) Si f(x) = 2x
3 − 3x
2 − 12x + 20, encontrar un punto donde la
pendiente de la recta tangente a f sea paralela al eje x.
d) Si f(x) = x
3
, encontrar las intersecciones con los ejes x y y de la
recta tangente a f en el punto (−2, −8).
e) Si f(x) = 2x
3−3x
2−12x+20, encontrar los puntos donde la recta
tangente a f sea perpendicular a la l´ınea dada por la ecuaci´on
y = 1 − x/24, encontrar los puntos donde la recta tangente sea
paralela a la recta y =
√
2 − 12x.
Soluci´on.
a) Si f(x) = x
2 +
1
2x−4
entonces f
0
(x) = 1
2 −
2
(2x−4)2
(ii) g(x) = 2x
2 + 1 y g(x + h) = 2(x + h)
2 + 1 = 2x
2 + 4xh + 2h
2 + 1
entonces:
g(x + h) − g(x)
h
=
(2x
2 + 4xh + 2h
2 + 1) − (2x
2 + 1)
h
=
4xh + 2h
2
h
= 4x + h
y de esta manera obtenemos:
g
0
(x) = l´ım
h→0
g(x + h) − g(x)
h
= l´ım
h→0
(4x + 2h)
= 4x
2. a) Hacer un dibujo de la gr´afica de la funci´on f : R → R dada por:
f(x) = (
x
2
si − 1 ≤ x < 0.
−x
2
si 0 ≤ x ≤ 1.
b) ¿Es f una funci´on continua en x = 0.
c) ¿Es f una funci´on derivable en x = 0. Dar razones para su respuesta.
Soluci´on.
a) He aqu´ı su gr´afica:
(ii) g(x) = 2x
2 + 1 y g(x + h) = 2(x + h)
2 + 1 = 2x
2 + 4xh + 2h
2 + 1
entonces:
g(x + h) − g(x)
h
=
(2x
2 + 4xh + 2h
2 + 1) − (2x
2 + 1)
h
=
4xh + 2h
2
h
= 4x + h
y de esta manera obtenemos:
g
0
(x) = l´ım
h→0
g(x + h) − g(x)
h
= l´ım
h→0
(4x + 2h)
= 4x
2. a) Hacer un dibujo de la gr´afica de la funci´on f : R → R dada por:
f(x) = (
x
2
si − 1 ≤ x < 0.
−x
2
si 0 ≤ x ≤ 1.
b) ¿Es f una funci´on continua en x = 0.
c) ¿Es f una funci´on derivable en x = 0. Dar razones para su respuesta.
Soluci´on.
(ii) g(x) = 2x
2 + 1 y g(x + h) = 2(x + h)
2 + 1 = 2x
2 + 4xh + 2h
2 + 1
entonces:
g(x + h) − g(x)
h
=
(2x
2 + 4xh + 2h
2 + 1) − (2x
2 + 1)
h
=
4xh + 2h
2
h
= 4x + h
y de esta manera obtenemos:
g
0
(x) = l´ım
h→0
g(x + h) − g(x)
h
= l´ım
h→0
(4x + 2h)
= 4x
2. a) Hacer un dibujo de la gr´afica de la funci´on f : R → R dada por:
f(x) = (
x
2
si − 1 ≤ x < 0.
−x
2
si 0 ≤ x ≤ 1.
b) ¿Es f una funci´on continua en x = 0.
c) ¿Es f una funci´on derivable en x = 0. Dar razones para su respuesta.
Soluci´on.
a) He aqu´ı su gr´afica:
I (x) = 2x2 + xt1
g 4) = 3x - 1
h(x) = 3
X-22 Explicación: