Question

La gráfica de la función g cruza el eje x en (2,0) ¿Cuál debe ser una raíz de la ecuación g(x)=0

Answer 1

Respuesta:

Explicación paso a paso:

x=kx, equals, start color #01a995, k, end color #01a995 es una raíz, o solución, de la ecuación f(x)=0f(x)=0f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0

\tealD kkstart color #01a995, k, end color #01a995 es un cero de la función fff

(\tealD k,0)(k,0)left parenthesis, start color #01a995, k, end color #01a995, comma, 0, right parenthesis es una intersección de la gráfica de y=f(x)y=f(x)y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis con el eje xxx

x-\tealD kx−kx, minus, start color #01a995, k, end color #01a995 es un factor lineal de f(x)f(x)f, left parenthesis, x, right parenthesis

Vamos a entender esto con el polinomio g(x)=(x-3)(x+2)g(x)=(x−3)(x+2)g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, el cual puede escribirse como g(x)=(x-3)(x-(-2))g(x)=(x−3)(x−(−2))g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis, right parenthesis.

Para empezar, vemos que los factores lineales de g(x)g(x)g, left parenthesis, x, right parenthesis son (x-\tealD3)(x−3)left parenthesis, x, minus, start color #01a995, 3, end color #01a995, right parenthesis y (x-(\tealD{-2}))(x−(−2))left parenthesis, x, minus, left parenthesis, start color #01a995, minus, 2, end color #01a995, right parenthesis, right parenthesis.

Si igualamos g(x)=0g(x)=0g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0 y despejamos xxx, tenemos que x=\tealD3x=3x, equals, start color #01a995, 3, end color #01a995 o x=\tealD{-2}x=−2x, equals, start color #01a995, minus, 2, end color #01a995. Estas son las soluciones, o raíces, de la ecuación.

Un cero de la función es un valor de xxx que hace que el valor de la función sea 000. Como sabemos que x=3x=3x, equals, 3 y x={-2}x=−2x, equals, minus, 2 son soluciones de g(x)=0g(x)=0g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0, entonces \tealD33start color #01a995, 3, end color #01a995 y \tealD{-2}−2start color #01a995, minus, 2, end color #01a995 son ceros de la función ggg.

Finalmente, las intersecciones de la gráfica de y=g(x)y=g(x)y, equals, g, left parenthesis, x, right parenthesis con el eje xxx satisfacen la ecuación 0=g(x)0=g(x)0, equals, g, left parenthesis, x, right parenthesis, que resolvimos antes. Las intersecciones con el eje xxx de la ecuación son (\tealD3,0)(3,0)left parenthesis, start color #01a995, 3, end color #01a995, comma, 0, right parenthesis y (\tealD{-2},0)(−2,0)left parenthesis, start color #01a995, minus, 2, end color #01a995, comma, 0, right parenthesis.

Comprueba tu comprensión

1) ¿Cuáles son los ceros de f(x)=(x+4)(x-7)f(x)=(x+4)(x−7)f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 7, right parenthesis?

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-4−4minus, 4 y 777

444 y -7−7minus, 7

(-4,0)(−4,0)left parenthesis, minus, 4, comma, 0, right parenthesis y (7,0)(7,0)left parenthesis, 7, comma, 0, right parenthesis

(4,0)(4,0)left parenthesis, 4, comma, 0, right parenthesis y (-7,0)(−7,0)left parenthesis, minus, 7, comma, 0, right parenthesis

Explicación

2) La gráfica de la función ggg cruza el eje xxx en (2,0)(2,0)left parenthesis, 2, comma, 0, right parenthesis. ¿Cuál debe ser una raíz de la ecuación g(x)=0g(x)=0g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0?

x=x=x, equals  

Explicación

3) Los ceros de la función hhh son -1−1minus, 1 y 333. ¿Cuál de las siguientes puede ser h(x)h(x)h, left parenthesis, x, right parenthesis?

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h(x)=(x-1)(x+3)h(x)=(x−1)(x+3)h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis

h(x)=(x+1)(x-3)h(x)=(x+1)(x−3)h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis

h(x)=(x-1)(x-3)h(x)=(x−1)(x−3)h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis

h(x)=(x+1)(x+3)h(x)=(x+1)(x+3)h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis

Explicación

Ceros y multiplicidad

Cuando un factor lineal aparece múltiples veces en la factorización de un polinomio, eso le da al correspondiente cero su multiplicidad.

Por ejemplo, en el polinomio f(x)=(x-1)(x-4)^\purpleC{2}f(x)=(x−1)(x−4)  

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