AYUDAAAA Los lados de un triángulo escaleno miden 6, 7 y 11. Calcular la altura del triángulo si se toma el lado más chico como la base. El radicando es:
Respuestas
Respuesta dada por:
0
Hola, espero que mi solución te ayude:
IMAGEN 1.- Graficamos el triángulo ACD de lados 6,7 y 11 y notamos que es obtusangulo. Y graficamos la altura h (AB), tomando como base el menor lado osea el 6.(IMAGEN 1)
IMAGEN 2.- Trazamos el segmento DE tal que este segmento sea perpendicular a BC, tal como lo indicamos en la IMAGEN 2. Notamos que como AB y DE son perpendiculares a BC, el angulo A es igual al angulo E (β). El angulo C lo representaremos por α. El segmento EC los representamos por x.
IMAGEN 3.- Nos damos cuenta que el triangulo ABC es semejante al triangulo ECD (porque sus angulos son iguales), por lo que sus lados son proporcionales(el segmento AC es igual a xk y BC es 6k. Por lo que BD es 6k-6(IMAGEN 3).
Ahora usamos el teorema de Pitagoras para hallar ''h'':
En el triangulo ABC:
h^{2} + (6k)^{2} = (xk)^{2}
h^{2} = x^{2}k^{2} - 36(k^{2})
Factorizamos:
h^{2} = (x^{2} - 36)(k^{2})
Sacamos raiz cuadrada:
![h = (\sqrt{ x^{2} - 36 }) (k) h = (\sqrt{ x^{2} - 36 }) (k)](https://tex.z-dn.net/?f=+h+%3D++%28%5Csqrt%7B+x%5E%7B2%7D+-+36+%7D%29+%28k%29)
Ahora en el triangulo ABD:
![h^{2} + (6k-6)^{2} = 7^{2} h^{2} + (6k-6)^{2} = 7^{2}](https://tex.z-dn.net/?f=+h%5E%7B2%7D+%2B+%286k-6%29%5E%7B2%7D+%3D+7%5E%7B2%7D+)
![h^{2} +36 k^{2} - 72k +36 = 49 h^{2} +36 k^{2} - 72k +36 = 49](https://tex.z-dn.net/?f=+h%5E%7B2%7D+%2B36+k%5E%7B2%7D+-+72k+%2B36+%3D+49)
![h^{2} = 49 - 36 k^{2} + 72k - 36 h^{2} = 49 - 36 k^{2} + 72k - 36](https://tex.z-dn.net/?f=h%5E%7B2%7D+%3D+49+-+36+k%5E%7B2%7D+%2B+72k+-+36+)
![h^{2} = - 36 k^{2} + 72k + 13 h^{2} = - 36 k^{2} + 72k + 13](https://tex.z-dn.net/?f=h%5E%7B2%7D++%3D+-+36+k%5E%7B2%7D+%2B+72k+%2B+13)
![h = \sqrt{- 36 k^{2} + 72k + 13} h = \sqrt{- 36 k^{2} + 72k + 13}](https://tex.z-dn.net/?f=h+%3D+%5Csqrt%7B-+36+k%5E%7B2%7D+%2B+72k+%2B+13%7D++)
Igualamos los dos valores de ''h'' que hemos obtenido:
![\sqrt{ x^{2} - 36 } (k) = \sqrt{ - 36 k^{2} + 72k + 13 } \sqrt{ x^{2} - 36 } (k) = \sqrt{ - 36 k^{2} + 72k + 13 }](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Csqrt%7B++x%5E%7B2%7D+-+36+%7D++%28k%29+%3D+%5Csqrt%7B+-+36+k%5E%7B2%7D+%2B+72k+%2B+13+%7D++)
Elevamos al cuadrado:
![(\sqrt{ x^{2} - 36 } (k) )^{2} = (\sqrt{ - 36 k^{2} + 72k + 13 } )^{2} (\sqrt{ x^{2} - 36 } (k) )^{2} = (\sqrt{ - 36 k^{2} + 72k + 13 } )^{2}](https://tex.z-dn.net/?f=%28%5Csqrt%7B+x%5E%7B2%7D+-+36+%7D+%28k%29+%29%5E%7B2%7D+++%3D+%28%5Csqrt%7B+-+36+k%5E%7B2%7D+%2B+72k+%2B+13+%7D+%29%5E%7B2%7D++)
![(x^{2} - 36) (k)^{2} = - 36 k^{2} + 72k + 13 (x^{2} - 36) (k)^{2} = - 36 k^{2} + 72k + 13](https://tex.z-dn.net/?f=%28x%5E%7B2%7D+-+36%29+%28k%29%5E%7B2%7D++%3D++-+36+k%5E%7B2%7D+%2B+72k+%2B+13+)
![(x^{2} - 36) (k)^{2} + 36 k^{2} = 72k + 13 (x^{2} - 36) (k)^{2} + 36 k^{2} = 72k + 13](https://tex.z-dn.net/?f=%28x%5E%7B2%7D+-+36%29+%28k%29%5E%7B2%7D+%2B+36+k%5E%7B2%7D+%3D+72k+%2B+13)
![(x^{2} - 36 + 36) (k)^{2} = 72k + 13 (x^{2} - 36 + 36) (k)^{2} = 72k + 13](https://tex.z-dn.net/?f=%28x%5E%7B2%7D+-+36+%2B+36%29+%28k%29%5E%7B2%7D+%3D++72k+%2B+13)
![(x^{2}) (k)^{2} = 72k + 13 (x^{2}) (k)^{2} = 72k + 13](https://tex.z-dn.net/?f=%28x%5E%7B2%7D%29+%28k%29%5E%7B2%7D+%3D+72k+%2B+13)
Pero en el segmento AC: xk=11 , entonces k=11/x
Reemplazamos:
![(x^{2}) ( \frac{11}{x} )^{2} = 72 (\frac{11}{x} ) + 13 (x^{2}) ( \frac{11}{x} )^{2} = 72 (\frac{11}{x} ) + 13](https://tex.z-dn.net/?f=%28x%5E%7B2%7D%29+%28+%5Cfrac%7B11%7D%7Bx%7D+%29%5E%7B2%7D+%3D+72+%28%5Cfrac%7B11%7D%7Bx%7D+%29++%2B+13)
![121 = 72 (\frac{11}{x} ) + 13 121 = 72 (\frac{11}{x} ) + 13](https://tex.z-dn.net/?f=121+%3D+72+%28%5Cfrac%7B11%7D%7Bx%7D+%29+%2B+13)
![121 - 13= 72 (\frac{11}{x} ) 121 - 13= 72 (\frac{11}{x} )](https://tex.z-dn.net/?f=121+-+13%3D+72+%28%5Cfrac%7B11%7D%7Bx%7D+%29)
![108 = 72 (\frac{11}{x}) 108 = 72 (\frac{11}{x})](https://tex.z-dn.net/?f=108+%3D+72+%28%5Cfrac%7B11%7D%7Bx%7D%29)
![x = 72 (\frac{11}{108}) x = 72 (\frac{11}{108})](https://tex.z-dn.net/?f=x+%3D+72+%28%5Cfrac%7B11%7D%7B108%7D%29)
![x = \frac{22}{3} x = \frac{22}{3}](https://tex.z-dn.net/?f=x+%3D++%5Cfrac%7B22%7D%7B3%7D+)
Entonces: k = 11/x , k = 11*3/22 , k = 3/2
Entonces, el segmento BC: 6k = 6(3/2) = 9
Ahora aplicamos el teorema de Pitagoras para todo el triangulo ABC:
![h^{2} + 9^{2} = 11^{2} h^{2} + 9^{2} = 11^{2}](https://tex.z-dn.net/?f=+h%5E%7B2%7D+%2B+9%5E%7B2%7D+%3D+11%5E%7B2%7D+)
![[tex]h^{2} = 121 - 81 [tex]h^{2} = 121 - 81](https://tex.z-dn.net/?f=%5Btex%5Dh%5E%7B2%7D+%3D+121+-+81)
![h^{2} = 40 h^{2} = 40](https://tex.z-dn.net/?f=+h%5E%7B2%7D+%3D+40)
![h = \sqrt{40} h = \sqrt{40}](https://tex.z-dn.net/?f=h+%3D++%5Csqrt%7B40%7D)
Si te piden el radicando de la respuesta seria 40.
IMAGEN 1.- Graficamos el triángulo ACD de lados 6,7 y 11 y notamos que es obtusangulo. Y graficamos la altura h (AB), tomando como base el menor lado osea el 6.(IMAGEN 1)
IMAGEN 2.- Trazamos el segmento DE tal que este segmento sea perpendicular a BC, tal como lo indicamos en la IMAGEN 2. Notamos que como AB y DE son perpendiculares a BC, el angulo A es igual al angulo E (β). El angulo C lo representaremos por α. El segmento EC los representamos por x.
IMAGEN 3.- Nos damos cuenta que el triangulo ABC es semejante al triangulo ECD (porque sus angulos son iguales), por lo que sus lados son proporcionales(el segmento AC es igual a xk y BC es 6k. Por lo que BD es 6k-6(IMAGEN 3).
Ahora usamos el teorema de Pitagoras para hallar ''h'':
En el triangulo ABC:
h^{2} + (6k)^{2} = (xk)^{2}
h^{2} = x^{2}k^{2} - 36(k^{2})
Factorizamos:
h^{2} = (x^{2} - 36)(k^{2})
Sacamos raiz cuadrada:
Ahora en el triangulo ABD:
Igualamos los dos valores de ''h'' que hemos obtenido:
Elevamos al cuadrado:
Pero en el segmento AC: xk=11 , entonces k=11/x
Reemplazamos:
Entonces: k = 11/x , k = 11*3/22 , k = 3/2
Entonces, el segmento BC: 6k = 6(3/2) = 9
Ahora aplicamos el teorema de Pitagoras para todo el triangulo ABC:
Si te piden el radicando de la respuesta seria 40.
Adjuntos:
![](https://es-static.z-dn.net/files/dec/acaefaac38040c8d53f25a11728b50fd.png)
![](https://es-static.z-dn.net/files/df7/9e6f31473e89379fba6b3f2a75734b07.png)
![](https://es-static.z-dn.net/files/d9e/f3d9d7f328c40e8e1bb4516bfd14ad36.png)
Preguntas similares
hace 6 años
hace 6 años
hace 6 años
hace 9 años
hace 9 años