Respuestas
Respuesta:
Dado que en la práctica de medir la longitud de un segmento de recta solo puede producir como resultado un número fraccionario, en un inicio, los griegos identificaron los números con las longitudes de los segmentos de recta.3Al identificar del modo mencionado, surge la necesidad de considerar una clase de números más amplia que la de los números fraccionarios. Se atribuye a Hípaso de Metaponto perteneciente a un grupo de matemáticos pitagóricos de la existencia de segmentos de recta inconmensurables con respecto a un segmento que se toma como unidad en un sistema de medición. Pues, existen segmentos de recta cuya longitud medida en este sistema no es un número fraccionario.3
Por ejemplo, en un cuadrado, la diagonal de este es inconmensurable con respecto a sus lados. Este hecho ocasionó una convulsión en el mundo científico antiguo. Provocó una ruptura entre la geometría y la aritmética de aquella época, ya que esta última, por entonces, se sustentaba en la teoría de la proporcionalidad, la cual solo se aplica a magnitudes conmensurables.
Intentaron salvar el obstáculo distinguiendo entre el concepto de número y el de longitud de un segmento de recta, y tomaron estos últimos como elementos básicos para sus cálculos. De tal modo, a los segmentos inconmensurables con respecto a la unidad tomada como patrón de medida les asignaron un nuevo tipo de magnitud: los números irracionales, los cuales por largo tiempo no se reconocieron como verdaderos números.3
Notación
No existe una notación universal para indicarlos, como {\displaystyle \mathbb {I} }\mathbb{I}, que sea generalmente aceptada. Las razones son que el conjunto de Números Irracionales no constituye alguna estructura algebraica, como sí lo son los naturales ({\displaystyle \mathbb {N} }\mathbb{N}), los enteros ({\displaystyle \mathbb {Z} }\mathbb{Z}), los racionales ({\displaystyle \mathbb {Q} }\mathbb{Q}), los reales ({\displaystyle \mathbb {R} }\R) y los complejos ({\displaystyle \mathbb {C} }\mathbb{C}), por un lado, y que la {\displaystyle \mathbb {I} }\mathbb{I} es tan apropiada para designar al conjunto de números irracionales como al conjunto de números imaginarios, lo cual puede crear confusión. Fuera de ello,
{\displaystyle \mathbb {I} :=\mathbb {R} \backslash \mathbb {Q} =\{x\in \mathbb {R} |x\notin \mathbb {Q} \}}{\displaystyle \mathbb {I} :=\mathbb {R} \backslash \mathbb {Q} =\{x\in \mathbb {R} |x\notin \mathbb {Q} \}}
Clasificación
Los números irracionales son los elementos de la recta real que cubren los vacíos que dejan los números racionales, ya que muchas sucesiones de racionales tienen como límite un número que no es un número racional.
Los números irracionales son los elementos de la recta real que no pueden expresarse mediante el cociente de dos enteros y se caracterizan por poseer infinitas cifras decimales no periódicas. Puede definirse al número irracional como una fracción decimal no periódica infinita.4 En general, toda expresión en números decimales es solo una aproximación en números racionales al número irracional referido, y se dice con toda propiedad que el número √2 es aproximadamente igual a 1,4142135 en 7 decimales, o bien es igual a 1,4142135… donde los tres puntos hacen referencia a los decimales que faltan. Debido a ello, los números irracionales más conocidos son identificados mediante símbolos:
{\displaystyle \pi }\pi (Número "pi" 3,14159...): razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro.
e (Número "e" 2,7182...): {\displaystyle \lim _{n\to +\infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}{\displaystyle \lim _{n\to +\infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}
{\displaystyle \Phi }\Phi (Número "áureo" 1,6180...): {\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}{\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}
las soluciones reales de x2 - 3 = 0; de x5 -7 = 0; de x3 = 11; 3x = 5; sen 7º, etc4
Los números irracionales se clasifican en dos tipos:
Número algebraico: Son la solución de alguna ecuación algebraica y se representan por un número finito de radicales libres o anidados en algunos casosn. 1; si "x" representa ese número, al eliminar radicales del segundo miembro mediante operaciones inversas, queda una ecuación algebraica de cierto grado. Todas las raíces no exactas de cualquier orden son irracionales algebraicos. Por ejemplo, el número áureo es una de las raíces de la ecuación algebraica {\displaystyle \scriptstyle x^{2}-x-1=0}{\displaystyle \scriptstyle x^{2}-x-1=0}, por lo que es un número irracional algebraico.
Número trascendente: No pueden representarse mediante un número finito de radicales libres o anidadas; provienen de las llamadas funciones trascendentes (trigonométricas, logarítmicas y exponenciales, etc.) También surgen al escribir números decimales no periódicos al azar o con un patrón que no lleva periodo definido, respectivamente, como los dos siguientes:
{\displaystyle \ 0,193650278443757}{\displaystyle \ 0,193650278443757}...:
te sirve es largo