Question

log5(x+10) - log5(x-10)=2

Answer 1

• $\log_{ 5} (x+10 ) \ - \ \log_{5 }(x-10) = 2$

Como hay una resta de logaritmos, podemos usar esta propiedad:

• $\boxed{ \log_{a}(b) \ - \ \log_{a}(c) = \log_{a}\left (\dfrac{b}{c}\right) }$

Que nos dice que si tenemos la resta de dos logaritmos con bases iguales, entonces pone un solo logaritmo con la base original y los argumentos se dividen

Entonces hacemos eso con nuestra igualdad

• $\log_{5}\left ( \dfrac{x+10}{x-10} \right) = 2$

Ahora usamos la definición de logaritmo

• $\boxed{ \log_{a}x = b \rightarrow x = a ^b }$

Para aplicarla en nuestra ecuación

• $\dfrac{x + 10}{x-10} = 5 ^2$

Efectuamos la potencia

• $\dfrac{x+10}{x-10} = 25$

Tenemos que despejamos a $x$

Multiplicamos ambos lados de la igualdad por x - 10

• $(x - 10) \ \dfrac{x+10}{x-10} = 25 (x - 10)$

• $\cancel{(x - 10)} \ \dfrac{x+10}{\cancel{(x-10)}}= 25 (x - 10)$

Ahora distribuimos en el lado derecho

• $x+10 = 25x - 250$

Pasamos las x a un lado y los números al otro

• $10 + 250 = 25x - x$

• $260 = 24x$

• $\dfrac{260}{24} = x$

Simplificando la fracción...

• $\boxed{ \dfrac{65}{6} = x }$