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Hola, aquí va la respuesta
Limite de una función
Veamos su definición formal:
"Llamemos "f" a una función que esta definida sobre algún intervalo abierto que contiene a un numero "a" (Excepto en "a" misma). Entonces decimos que:"
Si ∀ ε > 0 , va a existir un δ > o tal que:
Si 0 < ║x -a ║ < δ entonces ║f(x) - L ║ < ε
* La barra "║" denotara al valor absoluto"
Veamos como podemos demostrarlo
Prueba
Sea ε > 0, lo que queremos es encontrar un δ > 0 de modo que:
Si 0 < ║x - 5 ║ < δ entonces ║x² - 25║ < ε
Usemos un borrador para calcular dicho delta, luego seguiremos
Borrador:
Partimos de:
║x² - 25║ < ε
║(x+5) ( x-5) ║ < ε
Podríamos despejar "(x-5)" y ya lo tendríamos, pero habría un problema.
Nosotros si hacemos eso, tendremos un delta que depende de 2 cosas: de epsilon y de x, y nosotros solo queremos que dependa de epsilon, por lo cual no es válido hacer eso
Entonces lo que haremos será añadir una condición, de que: ║x - 5║ < 1 (aunque puede ser menor que cualquier otro número), de esta manera obtendríamos lo siguiente:
Por propiedad del valor absoluto:
║x║< a ⇔ -a < x < a
Tenemos que:
-1 < x - 5 < 1
4 < x < 6
Si sumamos 5 en todos los miembros, obtenemos:
4 + 5 < x + 5 < 6 + 5
9 < x + 5 < 11
De esta manera, tendríamos que:
║x +5║ ║x - 5║< 11║x-5║ < ε
║x - 5║ < ε/11
Ya hemos encontrado un candidato para delta, pero recordemos la condición añadida anteriormente, de que ║x - 5║ < 1
Lo cual tenemos 2 candidatos. Nosotros tomaremos el menor de ellos, es decir:
δ= min{1 , ε/11}
Volviendo a la prueba
Elegimos que δ= min{1 , ε/11}
Como hay 2 candidatos. Analicemos cada caso
- Caso 1: δ= 1 < ε/11
Tenemos que
║x - 5║ < 1 esto implica que 9 < x + 5 < 11
║x + 5║║x-5║ < 11*1
Pero 1 < ε/11
║x + 5║ ║x - 5║ < 1*11 < ε/11 * 11 = ε
Lo cual se verifica que ║x²-25║< ε
- Caso 2: δ= ε/11 < 1
║x - 5║ < ε/11 < 1 lo cual implica que 9 < x + 5 < 11
Tenemos que:
║x + 5║ ║ x - 5║ < 11* ε/11 = ε
Lo cual verifica que ║x² - 25║ < ε
Habiendo demostrado ambos casos, queda demostrado el limite
Saludoss