1. Observe los resultados obtenidos en la tabla anterior y a partir de ellos plantee una expresión algebraica que represente el área total de la región sombreada en función de la posición .
2 ¿A qué valor se aproxima el área de la región sombreada cuando se hace cada vez más grande?. Justifique su respuesta.
Represente esta situación como un límite empleando la notación matemática correspondiente.
3 ¿A qué valor se aproxima el área de la región no sombreada cuando se hace cada vez más grande?. Justifique su respuesta.
Represente esta situación como un límite empleando la notación matemática correspondiente.
Respuestas
Respuesta dada por:
0
1) Para plantear la expresión entre la posición y el área
total de la región
sombrada, vamos a escribir algunos n° de la tabla:
Posición área nueva area total sombreada
sombreada
2 1/ 2^1 = 1/2 1 - 1/2 = 1/2
3 1/2^2 = 1/4 1 - 1/4 = 3/4
4 1/2^3 = 1/8 1 - 1/8 7/8
....
25 1/ 2^24 = 1 / 16.777.216 1 - 1 / 16.777.216
n 1/ 2^n 1 - 1/ 2^n
El área total de la región sombreada es:
1 - 1 /2^n lo cual es equivalente a [2^n - 1] / 2^n
sombrada, vamos a escribir algunos n° de la tabla:
Posición área nueva area total sombreada
sombreada
2 1/ 2^1 = 1/2 1 - 1/2 = 1/2
3 1/2^2 = 1/4 1 - 1/4 = 3/4
4 1/2^3 = 1/8 1 - 1/8 7/8
....
25 1/ 2^24 = 1 / 16.777.216 1 - 1 / 16.777.216
n 1/ 2^n 1 - 1/ 2^n
El área total de la región sombreada es:
1 - 1 /2^n lo cual es equivalente a [2^n - 1] / 2^n
2. Al valor que se aproxima la region sombreada cuando se hace mas
grande es:
Limite
cuando n ->∞ de {1 - 1 / 2^(n-1)} = 1 - 1 / ∞ = 1 - 0 = 1
3. Al valor que se aproxima la region no sombreada cuando se hace mas
grande es:
Límite cuando n -> ∞ de {1 / 2^(n-1)} = 1 / ∞ = 0
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