Question

1. Observe los resultados obtenidos en la tabla anterior y a partir de ellos plantee una expresión algebraica que represente el área total de la región sombreada en función de la posición .
2 ¿A qué valor se aproxima el área de la región sombreada cuando se hace cada vez más grande?. Justifique su respuesta.
Represente esta situación como un límite empleando la notación matemática correspondiente.
3 ¿A qué valor se aproxima el área de la región no sombreada cuando se hace cada vez más grande?. Justifique su respuesta.
Represente esta situación como un límite empleando la notación matemática correspondiente.

Answer 1

1) Para plantear la expresión entre la posición y el área total de la región

sombrada, vamos a escribir algunos n° de la tabla:


Posición       área nueva                          area total sombreada                                          
                   sombreada


2                1/ 2^1 = 1/2                             1 - 1/2 = 1/2  
3                1/2^2 = 1/4                              1 - 1/4 = 3/4 
4                1/2^3  = 1/8                             1 - 1/8    7/8 
....
25         1/ 2^24 = 1 / 16.777.216           1 - 1 / 16.777.216


n                1/ 2^n                                         1 - 1/ 2^n 


El área total de la región sombreada es:
 
1 - 1 /2^n lo cual es equivalente a [2^n - 1] / 2^n

2.  Al valor que se aproxima la region sombreada cuando se hace mas 

grande es:

Limite cuando  n ->∞ de {1 - 1 / 2^(n-1)} = 1 - 1 / ∞ = 1 - 0 = 1

3. Al valor que se aproxima la region no sombreada cuando se hace mas 

grande es:

Límite cuando n -> ∞ de {1 / 2^(n-1)} = 1 / ∞ = 0