Question

El embolo mayor de una prensa hidraulica es de 30cm de diametro. Determine el area y diametro del embolo menor,si en el embolo mayor se desarrolla una fuerza suficiente para levantar un auto de 2500 kg y en el embolo menor se aplica una fuerza de 300N.

Answer 1

El área del émbolo menor es de aproximadamente 8.655 centímetros cuadrados y su diámetro es de aproximadamente 3.32 centímetros

Empleamos el Principio de Pascal

Una aplicación de este principio es la prensa hidráulica.

Por el Principio de Pascal

$\large\boxed{ \bold{ P_{A} = P_{B} }}$

Teniendo

$\large\boxed{ \bold{ \frac{ F_{A} }{ S_{A} } = \frac{ F_{B} }{ S_{B} } }}$

Donde consideramos que los émbolos se encuentran a la misma altura

Por tanto se tienen dos émbolos uno pequeño o el émbolo menor de un lado y el émbolo mayor al otro lado

Donde si se aplica una fuerza F al émbolo de menor área el resultado será una fuerza mucho mayor en el émbolo de mayor área o embolo mayor

Para que se cumpla la relación

$\large\boxed{ \bold{ \frac{ F_{A} }{ S_{A} } = \frac{ F_{B} }{ S_{B} } }}$

Solución

Por enunciado sabemos que la fuerza aplicada sobre el émbolo menor es de 300 N

Luego

$\large\boxed{ \bold{ F_{A} = 300 \ N }}$

Hallamos la fuerza que se ejerce en el émbolo mayor

Dado que se desarrolla una fuerza suficiente para levantar un auto de 2500 kilogramos

Por la Segunda Ley de Newton

$\large\boxed{ \bold{ F= m \ . \ a }}$

Donde

$\bold{ m } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{masa del auto }\ \ \ \bold{2500 \ kg }$

$\bold{ a = g} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{Valor de la aceleraci\'on gravitacional }\ \ \ \bold{9.8 \ m/s^{2} }$

Reemplazamos y resolvemos  

$\boxed{ \bold{F_{B} = 2500 \ kg \ . \ 9.8 \ \frac{m}{s^{2} } }}$

$\boxed{ \bold{F_{B} = 24500 \ kg \ . \ \frac{m}{s^{2} } }}$

$\bold{1 \ N = 1 \ kg \ . \ m/s^{2} }$

$\large\boxed{ \bold{ F_{B} = 24500 \ N }}$

La fuerza ejercida en el émbolo mayor es de 24500 N

Determinamos la superficie del émbolo mayor

El émbolo mayor tiene un diámetro de 30 centímetros

Hallamos la superficie o área del émbolo mayor empleando la fórmula para calcular el área de un círculo

$\boxed{ \bold{S = \pi \ . \ \left( \frac{D^{2} }{4} \right) }}$

$\large\textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed{ \bold{S_{B} = \pi \ . \ \frac{(30 \ cm) ^{2} }{4} }}$

$\boxed{ \bold{S_{B} = \pi \ . \ \frac{900 \ cm ^{2} }{4} }}$

$\large\boxed{ \bold{S_{B} = \pi \ 225\ cm^{2} \approx 706.858 \ cm^{2} }}$

El área del émbolo mayor es de π 225 cm² o de aproximadamente 706.858 cm²

Calculamos el área del émbolo menor

Teniendo

$\bold{ F_{A }} \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{Fuerza sobre \'embolo menor }\ \ \bold {300 \ N }$

$\bold{ S_{A} } \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{\'Area \'embolo menor }$

$\bold{ F_{B }} \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{Fuerza sobre \'embolo mayor}\ \ \bold {24500 \ N}$

$\bold{ S_{B} } \ \ \ \ \ \ \large\textsf{ \'Area \'embolo mayor }\ \ \bold { \pi \ 225 \ cm^{2} }$

$\large\boxed{ \bold{ \frac{ F_{A} }{ S_{A} } = \frac{ F_{B} }{ S_{B} } }}$

$\large\textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed{ \bold{ \frac{ 300 \ N }{ S_{A} } = \frac{24500 \ N }{ \pi \ 225 \ cm^{2} } }}$

$\boxed{ \bold{ S_{A} = \frac{ 300 \not N \ . \ \pi \ 225 \ \ cm^{2} }{ 24500 \not N } }}$

$\boxed{ \bold{ S_{A} = \frac{ 300 \ . \ \pi \ 225 \ }{ 24500 } \ cm^{2} }}$

$\boxed{ \bold{ S_{A} = \frac{\not 100 \ . \ (3 \ . \ \pi \ 225 ) }{\not 100 \ . \ 245 } \ cm^{2} }}$

$\boxed{ \bold{ S_{A} = \frac{3 \ . \ \pi \ 225 }{ 245 } \ cm^{2} }}$

$\boxed{ \bold{ S_{A} = \frac{\not 5 \ . \ (3 \ . \ \pi \ 45 ) }{\not 5\ . \ 49 } \ cm^{2} }}$

$\boxed{ \bold{ S_{A} = \frac{3 \ . \ \pi \ . \ 45 }{49 } \ cm^{2} }}$

$\boxed{ \bold{ S_{A} = \frac{13 5\ \ \pi }{49 } \ cm^{2} }}$

$\large\boxed{ \bold{ S_{A} \approx 8.655 \ cm^{2} }}$

El área del émbolo menor es de aproximadamente 8.655 cm²

Determinamos el diámetro del émbolo menor

$\boxed{ \bold{S_{A} = \pi \ . \ \left( \frac{D^{2} }{4} \right) }}$

$\large\textsf{Despejamos el di\'ametro }$

$\boxed{ \bold{S_{A} \ .\ 4 = \pi \ . \ D^{2} }}$

$\boxed{ \bold{\frac{ S_{A} \ .\ 4 }{ \pi } = \ D^{2} }}$

$\boxed{ \bold{D = \sqrt{ \frac{ S_{A} \ .\ 4 }{ \pi } } }}$

$\large\textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed{ \bold{D = \sqrt{ \frac{ \frac{135\ \pi }{49} \ cm^{2} \ .\ 4 }{ \pi } } }}$

$\boxed{ \bold{D = \sqrt{ \frac{ \frac{540\ \pi }{49} \ cm^{2} }{ \pi } } }}$

$\boxed{ \bold{D = \sqrt{ \frac{540\ \not \pi }{49 } \ . \ \frac{1}{\not \pi } \ cm ^{2} } }}$

$\boxed{ \bold{D = \sqrt{ \frac{540 }{49 } \ cm ^{2} } }}$

$\boxed{ \bold{D = \frac{\sqrt{540} }{\sqrt{49} } \ cm }}$

$\boxed{ \bold{D = \frac{\sqrt{ 6^{2} \ . \ 15 } }{\sqrt{7^{2} } } \ cm }}$

$\boxed{ \bold{D = \frac{6\sqrt{ \ 15 } }{7 } \ cm }}$

$\boxed{ \bold{D \approx 3.3197\ cm }}$

$\large\boxed{ \bold{D \approx 3.32\ cm }}$

El diámetro del émbolo menor es de aproximadamente 3.32 cm