Question

Un atleta que participa en salto de longitud deja el suelo a un ángulo de 22° sobre la horizontal y con una rapidez de 11 m/s.

a. ¿Que distancia salta en la direccion horizontal?

b. ¿Cual es la altura maxima que alcanza?

Answer 1

a) La distancia que el atleta salta en la dirección horizontal está dada por el alcance máximo que es de 8.58 metros

b) La altura máxima que alcanza el atleta es de 0.87 metros

Se trata de un problema de tiro parabólico que consiste en una composición de movimientos en dos dimensiones: uno horizontal sin aceleración, y el otro vertical con aceleración constante hacia abajo, debido a la fuerza de gravedad. Ambos movimientos poseen velocidad inicial y son independientes uno del otro.

Solución  

a) Cálculo del alcance máximo

La ecuación de alcance máximo de un proyectil está dada por:

$\large\boxed {\bold { x_{max} =\frac{( V _{0})^{2} \ . \ sen (2 \theta) }{ g } }}$

Donde

$\bold { x_{max} } \ \ \ \ \textsf{Es el alcance m\'aximo del proyectil }$

$\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }$

$\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil }$

$\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }$

Tomamos un valor de gravedad de 9.8 metros por segundo al cuadrado (m/s²)

$\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{( 11 \ \frac{m}{s} )^{2} \ . \ sen (2 \ . 22^o ) }{ 9.8 \ \frac{m}{s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{ 121 \ \frac{m^{2} }{s^{2} } \ . \ sen (44^o ) }{ 9.8 \ \frac{m}{s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{ 121 \ \frac{m^{\not 2} }{\not s^{2} } \ . \ 0.6946583704589 }{ 9.8 \ \frac{\not m}{\not s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{ 121 \ . \ 0.6946583704589 }{ 9.8 } \ metros }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{84.053662825538 }{ 9.8 } \ metros }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =8.5769 \ metros }}$

$\large\boxed {\bold { x_{max} =8.58 \ metros }}$

La distancia que el atleta salta en la dirección horizontal está dada por el alcance máximo que es de 8.58 metros

b) Determinamos la altura máxima

La altura máxima que alcanza un proyectil está dada por:

$\large\boxed {\bold { H_{max} =\frac{( V_{0})^{2} \ . \ sen^{2} \theta }{2 \ . \ g } }}$

Donde

$\bold { H_{max} } \ \ \ \ \textsf{Es la altura m\'axima del proyectil }$

$\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }$

$\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil }$

$\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }$

$\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{(11 \ \frac{m}{s} )^{2} \ . \ sen^{2} \ (22^o) }{2 \ . \ 9,8 \ \frac{m}{s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{121\ \frac{m^{\not 2} }{\not s^{2} } \ . \ (0.3746065834159)^{2} }{ 19.6\ \frac{\not m}{\not s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{121 \ . \ 0.1403300998306 }{ 19.6\ } \ metros }}$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{16.979942079511 }{ 19.6\ } \ metros }}$

$\boxed {\bold { H_{max} = 0.86632\ metros }}$

$\large\boxed {\bold { H_{max} = Y_{max} = 0.87\ metros }}$

La altura máxima que alcanza el atleta es de 0.87 metros

Aunque el enunciado no lo pida podemos hallar el tiempo de vuelo

La ecuación del tiempo de vuelo de un proyectil está dada por:

$\large\boxed {\bold { t_{V} =\frac{2 \ V _{0} \ . \ sen \ \theta }{ g } }}$

Donde

$\bold { t_{v} } \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el tiempo de vuelo del proyectil }$

$\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }$

$\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil }$

$\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }$

$\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{2 \ . \ (11 \ \frac{m}{s} ) \ . \ sen \ (22^o) }{9.8 \ \frac{m}{s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{22\ \frac{\not m}{\not s} \ . \ 0.3746065934159 }{9.8 \ \frac{\not m}{s^{\not 2} } } }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{22\ \ . \ 0.3746065934159 }{9,8 \ } \ segundos }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{8.2413450551500 }{9.8 \ } \ segundos }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =0.84095 \ segundos }}$

$\large\boxed {\bold { t _{v} =0.84 \ segundos }}$

El tiempo de vuelo del atleta es de 0.84 segundos