Respuestas
Respuesta:
Que es una matriz
Una matriz se representa por medio de una letra mayúscula (A,B, …) y sus elementos con la misma letra en minúscula (a,b, …), con un doble subíndice donde el primero indica la fila y el segundo la columna a la que pertenece.
Tipos de matrices cuadradas
Matriz triangular superior
En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la
diagonal principal son ceros.
ejemplo de Matriz triangular superior
Matriz triangular inferior
En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la
diagonal principal son ceros.
Ejemplo de Matriz triangular inferior
Matriz diagonal
En una matriz diagonal todos los elementos que no están situados en la
diagonal principal son nulos.
ejemplo de matriz diagonal
Matriz escalar
Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la
diagonal principal son iguales.
ejemplo de matriz escalar
Matriz identidad o unidad
Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de
la diagonal principal son iguales a 1.
ejemplo de matriz unidad
Matriz regular
Una matriz regular es una matriz cuadrada que tiene inversa.
Matriz singular
Una matriz singular no tiene matriz inversa.
Matriz idempotente
Una matriz, A, es idempotente si:
A² = A.
Es decir, las potencias de una matriz idempotente, siempre darán como resultado
la misma matriz
Matriz involutiva
Una matriz, A, es involutiva si:
A² = I.
Matriz simétrica
Una matriz simétrica es una matriz cuadrada que verifica:
A = At.
Matriz antisimétrica o hemisimétrica
Una matriz antisimétrica o hemisimétrica es una matriz cuadrada que verifica:
A = −At.
Matriz ortogonal
Una matriz es ortogonal si verifica que:
A · At = I.
Matrices cuadradas
Una matriz cuadrada es aquélla que tiene igual número de filas y de columnas. Denominamos
R
n
x
n
al conjunto de matrices cuadradas de orden n (n filas y n columnas).
La diagonal principal de una matriz cuadrada está formada por los elementos
a
i
i
La importancia de las matrices en álgebra es conocida y existen numerosos teoremas que las caracterizan o que las emplean como herramienta. Pero además, si trabajamos con matrices especiales, esto es, con matrices que cumplen determinadas características, obtenemos otros resultados interesantes o importantes por sus aplicaciones. Veamos un ejemplo:
Dada la matriz regular A de dimensión n x n tiene todos los menores principales no singulares, entonces admite una factorización LU. En este caso, para resolver computacionalmente el sistema
A
x
=
b
se necesitan
2
3
n
3
operaciones en punto flotante, mientras que si usamos la descomposición QR se necesitan
4
3
n
3
Es decir, usando la descomposición LU se requiere la mitad de operaciones respecto la descomposición QR.
En esta sección presentamos los tipos básicos de matrices según su forma (definición y propiedades inmediatas): identidad, diagonal, traspuesta, adjunta, simétrica, antisimétrica, definida positiva, diagonalmente dominante y Hessenberg.