Clasificar cada una de las siguientes expresiones como ecuaciones o identidades.
a. 2(x + 5) − 3x = x + 10
b. 2 cos x − 1 = 0
c. 2 sin x = 1
d. x + 8 = 2x − 15
e. 2(x + 2y) = 2x + 4y
Respuestas
Respuesta:
Definiciones
Polinomio de grado n: La expresi´on de un polinomio de grado n de
una variable es
Pn(x) = anx
n + an−1x
n−1 + · · · + a1x + a0
con ai ∈ R, para i = 0, 1, 2, · · · , n.
Ejemplo 1.1 −x
4 + 2x
3 − 4 es un polinomio de grado 4.
Ecuaci´on: Es una igualdad entre dos expresiones algebraicas en las
que aparecen valores conocidos o datos y desconocidos o inc´ognitas
relacionados mediante operaciones matem´aticas.
Ejemplo 1.2 La expresi´on 2x = 10 es una ecuaci´on.
Soluci´on de una ecuaci´on: Conjunto de valores num´ericos de las
inc´ognitas para el que se verifica la igualdad.
Una ecuaci´on puede no tener soluci´on, tener soluci´on ´unica o m´as de
una soluci´on.
Ejemplo 1.3 x = 5 es la ´unica soluci´on de la ecuaci´on 2x = 10.
Ra´ız de un polinomio: es cada una de las soluciones de la ecuaci´on,
llamada ecuaci´on polin´omica, Pn(x) = 0.
Factorizaci´on de un polinomio: Consiste en expresar un polinomio
como producto de polinomios de menor grado.
Ejemplo 1.4 El polinomio p(x) = −2x
2+8x−6 de grado 2 se factoriza
como producto de polinomios de grado 1 de la forma siguiente:
−2x
2 + 8x − 6 = 2(x − 1)(3 − x)
Sistema de m ecuaciones con n inc´ognitas: Se trata de un conjunto
de m ecuaciones con n inc´ognitas.
Ejemplo 1.5 Este es un sistema de 2 ecuaciones con 3 inc´ognitas:
3x + 5y
2 − 3z
2 = 8
ln x + 2y + z = 2
3Soluci´on
En este caso α = −1 y los coeficientes del polinomio dividendo son
a3 = 3, a2 = 0, a1 = −1 y a0 = 2. Se procede seg´un se ha descrito
anteriormente:
3 0 −1 2
−1
3
3 0 −1 2
−1 −3
3 −3
3 0 −1 2
−1 −3 3
3 −3 2
3 0 −1 2
−1 −3 3 −2
3 −3 2 0
Luego, la divisi´on tiene resto cero y el cociente es el polinomio de grado
2 cuyos coeficientes son 3, −3 y 2, es decir, 3x
2 − 3x + 2.
Al ser el resto cero, se dice que el polinomio 3x
3 − x + 2 es divisible
entre x + 1, y se puede escribir
3x
3 − x + 2 = (x + 1)(3x
2 − 3x + 2)
Como el polinomio vale 0, cuando x = −1, una ra´ız de este polinomio
es x = −1.
2.2. Ecuaciones lineales
La soluci´on de una ecuaci´on lineal con una inc´ognita que adopta la
forma reducida ax + b = 0, donde x denota la inc´ognita y a 6= 0, es
x =
−b
a
Si una ecuaci´on lineal con una inc´ognita no adopta la forma reducida
ax + b = 0, se procede a agrupar por una parte los t´erminos donde
aparece la inc´ognita x y por otra los t´erminos que no la tienen, pasando
de la ecuaci´on dada a otra equivalente en forma reducida.
Si al realizar este proceso se obtiene b = 0 con b un n´umero real distinto
de 0, la ecuaci´on no tiene soluci´on. Si se obtiene c = c con c cualquier
n´umero real, entonces la ecuaci´on es una identidad.
Ejemplo 2.2 A continuaci´on se resuelven algunas ecuaciones lineales
sencillas